넣기

클라인 병의 3차원 유클리드 공간에서의 넣기. 하지만 이는 묻기가 아니다.

미분기하학에서, 넣기(immersion) 또는 몰입(沒入)은 두 미분다양체 사이, 정의역의 접공간으로부터 공역의 접공간에 대한 사상이 단사인 매끈한 사상이다.

정의

두 매끈한 미분다양체 $M$, $N$ 사이의 넣기는 다음 성질을 만족하는 매끈한 함수 $\iota\colon M\to N$이다.

• 모든 $p\in M$에서, $\iota$의 미분 $D_p\iota\colon T_pM\to T_pN$이 단사함수이다.

성질

넣기는 묻기(embedding)보다 더 약한 개념이다. 즉, 모든 묻기는 넣기이지만 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 클라인 병은 3차원 유클리드 공간 $\mathbb R^3$에 넣을 수 있지만, 묻을 수는 없다. 이는 3차원에 넣은 클라인 병은 항상 겹치는 부분이 있어, 원래 클라인 병과 위상동형이 아니기 때문이다.

묻기가 아닌 단사 넣기

심지어, 묻기가 아닌 단사 넣기도 존재한다. 예를 들어, 오른쪽 그림과 같은 $(0,1)\to\mathbb R^2$ 넣기를 생각해 보자. 이는 명백히 단사함수지만, 상이 정의역과 위상동형이 아니므로 묻기가 아니다.