몰입 (수학)

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클라인 병의 3차원 유클리드 공간에서의 몰입. 하지만 이는 매장이 아니다.

미분기하학에서, 몰입(沒入, 영어: immersion) 또는 넣기는 두 미분다양체 사이, 정의역접공간으로부터 공역접공간에 대한 사상이 단사매끈한 사상이다.

정의[편집]

두 매끈한 미분다양체 M, N 사이의 몰입은 다음 성질을 만족하는 매끈한 함수 \iota\colon M\to N이다.

성질[편집]

몰입은 매장보다 더 약한 개념이다. 즉, 모든 매장은 몰입이지만 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 클라인 병은 3차원 유클리드 공간 \mathbb R^3에 몰입할 수 있지만, 매장할 수는 없다. 이는 3차원에 넣은 클라인 병은 항상 겹치는 부분이 있어, 원래 클라인 병과 위상동형이 아니기 때문이다.

매장이 아닌 단사 몰입

심지어, 매장이 아닌 단사 몰입도 존재한다. 예를 들어, 오른쪽 그림과 같은 (0,1)\to\mathbb R^2 몰입을 생각해 보자. 이는 명백히 단사함수지만, 이 정의역과 위상동형이 아니므로 매장이 아니다.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Immersion. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).