귀진 완전열

대수적 위상수학에서 귀진 완전열(Gysin完全列, 영어: Gysin exact sequence)은 초구 올뭉치에 대하여 존재하는, 밑공간과 전체 공간의 코호몰로지를 잇는 긴 완전열이다.

정의

올이 $k$차원 초구(또는 호몰로지 초구)인 세르 올뭉치

$\mathbb {S} ^{k}\hookrightarrow E{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}B$

를 생각하자. 또한, $B$가 경로 연결 CW 복합체이며 기본군 $\pi _{1}(B)$는 코호몰로지 환 $\operatorname {H} ^{\bullet }(B)$ 위에 자명하게 작용한다고 하자. (이는 세르 스펙트럼 열이 존재하기 위한 충분조건이다.) 이 경우, 초구는 오직 0차 및 $k$차 코호몰로지만을 가지므로, 세르 스펙트럼 열의 둘째 쪽은 다음과 같다.

$E_{2}^{\bullet ,\bullet }=\cdots =E_{k+1}^{\bullet ,\bullet }=\left|{\underline {\begin{matrix}\operatorname {H} ^{0}(B)&\operatorname {H} ^{1}(B)&\cdots \\0&0&\cdots \\\vdots &\vdots \\0&0&\cdots \\\operatorname {H} ^{0}(B)&\operatorname {H} ^{1}(B)&\cdots \end{matrix}}}\right.$

이 스펙트럼 열은 2번째 쪽부터 $k+1$번째 쪽까지는 그대로이며, $k+2$번째 쪽에서 퇴화한다.

$E_{k+2}^{\bullet ,\bullet }=\cdots =E_{\infty }^{\bullet ,\bullet }=\left|{\underline {\begin{matrix}\ker d_{k+1}^{0,k}&\ker d_{k+1}^{1,k}&\cdots \\0&0&\cdots \\\vdots &\vdots \\0&0&\cdots \\\operatorname {H} ^{0}(B)&\operatorname {H} ^{1}(B)&\cdots &\operatorname {H} ^{k}(B)&\operatorname {coker} d_{k+1}^{0,k}&\operatorname {coker} d_{k+1}^{1,k}&\cdots \end{matrix}}}\right.$

이 스펙트럼 열은 $\operatorname {H} ^{p+q}(E)$로 수렴하게 된다. 따라서,

${\frac {\operatorname {H} ^{n}(E)}{F^{n}\operatorname {H} ^{n}(E)}}=\ker d_{k+1}^{n-k,k}$

$F^{n+1}\operatorname {H} ^{n+1}(E)=\operatorname {coker} d_{k+1}^{n-k,k}$

가 되고, 완전열

$0\to {\frac {\operatorname {H} ^{n}(E)}{F^{n}\operatorname {H} ^{n}(E)}}\to \operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {d_{k+1}^{n-k,k}}}\operatorname {H} ^{n+1}(B)\to F^{n+1}\operatorname {H} ^{n+1}(E)\to 0$

이 존재한다. 이제 이들을 다음과 같이 잇자.

$\cdots \to \operatorname {H} ^{n}(E)\twoheadrightarrow {\frac {\operatorname {H} ^{n}(E)}{F^{n}\operatorname {H} ^{n}(E)}}\to \operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {d_{k+1}^{n-k,k}}}\operatorname {H} ^{n+1}(B)\to F^{n+1}\operatorname {H} ^{n+1}(E)\hookrightarrow \operatorname {H} ^{n+1}(E)\to \cdots$

이제 $\operatorname {H} ^{\bullet }(E)/F^{\bullet }\operatorname {H} ^{\bullet }(E)$ 및 $F^{\bullet }\operatorname {H} ^{\bullet }(E)$를 생략하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

$\cdots \to \operatorname {H} ^{n}(E)\to \operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {d_{k+1}^{n-k,k}}}\operatorname {H} ^{n+1}(B)\to \operatorname {H} ^{n+1}(E)\to \cdots$

이를 귀진 완전열이라고 한다.

성질

귀진 완전열

$\cdots \to \operatorname {H} ^{n}(E){\xrightarrow {\pi _{*}}}\operatorname {H} ^{n-k}(B){\xrightarrow {e(E)\smile }}\operatorname {H} ^{n+1}(B){\xrightarrow {\pi ^{*}}}\operatorname {H} ^{n+1}(E)\to \cdots$

에서 각 준동형은 다음과 같이 해석할 수 있다.

• $e(E)\smile \colon \operatorname {H} ^{\bullet }(B)\to \operatorname {H} ^{\bullet +k+1}(B)$은 초구 올뭉치 $E$의 오일러 특성류와의 합곱이다. 구체적으로, $\mathbb {S} ^{k}$ 올다발 $E$가 주어졌다면, 그 연관 다발, 즉 각 올의 (임의의 내적에 대한) 단위 초구가 $E$가 되는 $k+1$차원 실수 벡터 다발 ${\tilde {E}}\twoheadrightarrow B$을 정의할 수 있다. $E$의 오일러 특성류는 ${\tilde {E}}$의 오일러 특성류 $e({\tilde {E}})\in \operatorname {H} ^{k+1}(B;\mathbb {Z} )$와 같다.
• $\pi ^{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(B)\to H^{\bullet }(E)$는 코호몰로지에 의한 $\pi \colon E\twoheadrightarrow B$의 당김이다.
• $\pi _{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet +k}(E)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(B)$는 귀진 준동형(Gysin準同型, 영어: Gysin homomorphism)이라고 한다. 실수 계수 코호몰로지의 경우, 드람 코호몰로지를 사용한다면 이는 $E$ 위의 미분 형식을 $E$의 올 $\mathbb {S} ^{k}$에 대하여 적분한 것이다.

역사

스위스의 수학자 베르너 귀진(독일어: Werner Gysin, 1915~?)이 1941년 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이는 귀진이 출판한 유일한 논문이다.

참고 문헌

• Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. MR 658304. Zbl 0496.55001. 

외부 링크

• “Gysin sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Gysin map”. 《nLab》 (영어).