섭동 이론

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수학물리학에서, 섭동 이론(perturbation theory, 攝動理論) 또는 미동 이론(微動理論)은 해석적으로 풀 수 없는 문제의 해를 매우 작다고 여길 수 있는 매개변수들의 테일러 급수로 나타내는 이론이다. 매개변수들이 매우 작으므로, 급수의 유한개의 항을 계산하여 근사적인 해를 얻을 수 있다.

이체 문제에서의 섭동 이론[편집]

이체 문제의 해는 비네 방정식으로 나타내어진다.

u''+u=-F(u)L^2/\mu u^2.

만유인력의 경우, F(u)=-GMmu^2이다. 이 경우에는 비네 방정식은 다음과 같다.

u''+u=GMmL^2/\mu=k.

그 해는

u(\theta)=k(1-\epsilon\cos(\theta-\theta_0))

임을 쉽게 알 수 있다. 여기서 \epsilon\theta_0적분 상수이다.

이제, 만유인력에 작은 퍼텐셜이 더해진다고 하자. 예를 들어, 다음과 같은 퍼텐셜을 생각하자. (이 퍼텐셜은 일반 상대성 이론에 등장한다.)

F(u)L^2/\mu=ku^2+\alpha u^4.

이 경우에는 비네 방정식은 다음과 같다.

u''+u=k+\alpha u^2.

이제는 해를 해석적으로 풀기 더 힘들다. 그러나 \alpha가 매우 작다면 그 해가 만유인력에 대한 해에 가까울 것이라고 추측할 수 있다. 이러한 가설 풀이 아래 다음과 같이 놓자.

u_0(\theta)=k(1-\epsilon\cos\theta)
u(\theta)=u_0(\theta)+\alpha k u_1(\theta)+\alpha^2k^2u_2(\theta)+\cdots.

(편의상 \theta_0=0으로 좌표를 잡자.) 이를 다시 비네 방정식에 대입하면 다음과 같다.

u_1''+u_1= u_0^2/k =k\left( 1+\frac12\epsilon^2-2\epsilon\cos\theta+\frac12\epsilon^2\cos2\theta\right).

따라서

u_1/k=1+\frac12\epsilon^2+\frac12\epsilon-\epsilon\theta\sin\theta
-\frac16\epsilon^2\cos2\theta

이다. 마찬가지로, u_2, u_3 등도 계산할 수 있다.

이 경우,

u_0+\alpha k^2u_1=-k\epsilon(\cos\theta+\alpha k\theta\sin\theta)+\cdots
\approx-k\epsilon\cos(\theta(1-\alpha k))+\cdots

이므로, 극지점 세차(apsidial precession)는 공전 주기당 약 2\pi\alpha k 라디안인 것을 알 수 있다.

양자역학에서의 섭동 이론[편집]

양자역학에는 여러 종류의 섭동 이론이 쓰인다. 흔히 쓰이는 레일리-슈뢰딩거 섭동 이론다이슨 급수 이외에도, 보른 급수WKB 급수도 섭동 이론의 일종이다. 이 밖에도, 특수한 경우에 k·p 섭동 이론이나 묄러-플레셋 섭동 이론 등이 쓰인다.

참고 문헌[편집]