제르브

수학에서, 제르브(프랑스어: gerbe)는 올다발의 개념의 범주화이며, 그 “올”은 위상 공간 대신 준군을 이룬다.

정의

위상 공간 $X$ 위의 제르브 ${\mathcal {G}}\colon \operatorname {Open} (X)\to {\mathcal {C}}$는 다음 조건을 만족시키는 준군 스택이다.

• (국소적 비공범주성 非空範疇性) 임의의 점 $x\in X$에 대하여, 범주 ${\mathcal {G}}(U)$가 하나 이상의 대상을 갖는 열린 근방 $U\ni x$가 존재한다.
• (추이성) 임의의 열린집합 $U\in \operatorname {Open} (X)$ 및 임의의 두 대상 $a,b\in {\mathcal {G}}(U)$에 대하여, 다음 조건이 성립하는 어떤 충분히 섬세한 열린 덮개 $U=\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}$가 존재한다.
  • 각 $i\in I$에 대하여, 제한 함자 $\operatorname {res} _{i}\colon {\mathcal {G}}(U)\to {\mathcal {G}}(U_{i})$ 아래, $\hom _{{\mathcal {G}}(U_{i})}(\operatorname {res} _{i}(a),\operatorname {res} _{i}(b))\neq \varnothing$이다. 즉, 어떤 사상 $f\colon \operatorname {res} _{i}(a)\to \operatorname {res} _{i}(b)$가 존재한다.

예

매끄러운 다양체 $M$과 리 군 $G$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M$ 위의 $G$-주다발들은 제르브 $\operatorname {Prin} _{G}$를 이룬다. 즉, 열린집합 $U\subseteq M$에 대하여, $\operatorname {Prin} _{G}(U)$는 다음과 같은 준군이다.

• $\operatorname {Prin} _{G}(U)$의 대상은 $U$ 위의 $G$-주다발이다.
• $\operatorname {Prin} _{G}(U)$의 사상은 $U$ 위의 $G$-주다발의 동형 사상이다.

주다발들은 짜깁기할 수 있으므로, 이는 준군 스택을 이룬다. 자명한 주다발이 항상 존재하므로, 국소적 비공범주성이 성립한다. 또한, 모든 주다발은 국소적으로 자명하므로 (국소적으로 서로 동형이므로), 추이성 역시 성립한다.

역사

장 지로(프랑스어: Jean Giraud [ʒɑ̃ ʒiʁo], 1936〜2007)가 1971년에 도입하였다. 프랑스어: gerbe 제르브^[*]는 짚단을 뜻한다. 이는 다발의 범주화 개념이므로, 다발에 빗대어 이렇게 명명되었다.

외부 링크

• “Gerbe”. 《nLab》 (영어).