탈레스 정리 (평행): 두 판 사이의 차이
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[[평면]] 위 3개의 서로 다른 [[평행선]] <math>l</math>, <math>l'</math>, <math>l''</math>이 주어졌다고 하자. 또 다른 두 직선이 <math>l</math>, <math>l'</math>, <math>l''</math>과 하나는 각각 점 <math>A</math>, <math>A'</math>, <math>A''</math>에서 만나고, 다른 하나는 각각 점 <math>B</math>, <math>B'</math>, <math>B''</math>에서 만난다고 하자. '''탈레스 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다. |
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이는 비가 [[유리수]]인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 <math>m</math>과 양의 정수 <math>n</math>에 대하여 <math>\overrightarrow{BB''}/\overrightarrow{BB'}=m/n</math>이라고 하자. 선분 <math>AA'</math>을 <math>n</math>등분하고, 직선 <math>AA'</math>의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 <math>n</math>등분점을 지나는 <math>l</math>의 평행선과 직선 <math>BB'</math>의 교점 역시 선분 <math>BB'</math>을 <math>n</math>등분하며, 또한 직선 <math>BB'</math>의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 <math>\overrightarrow{AA''}/\overrightarrow{AA'}=m/n</math>이 성립한다. |
이는 비가 [[유리수]]인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 <math>m</math>과 양의 정수 <math>n</math>에 대하여 <math>\overrightarrow{BB''}/\overrightarrow{BB'}=m/n</math>이라고 하자. 선분 <math>AA'</math>을 <math>n</math>등분하고, 직선 <math>AA'</math>의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 <math>n</math>등분점을 지나는 <math>l</math>의 평행선과 직선 <math>BB'</math>의 교점 역시 선분 <math>BB'</math>을 <math>n</math>등분하며, 또한 직선 <math>BB'</math>의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 <math>\overrightarrow{AA''}/\overrightarrow{AA'}=m/n</math>이 성립한다. |
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이제 <math>\overrightarrow{AA''}/\overrightarrow{AA'}=\lambda</math>가 일반적인 실수인 경우를 보이자. <math>\overrightarrow{BB''}/\overrightarrow{BB'}=\mu</math>이라고 가정하자. 임의의 유리수 <math>q</math>에 대하여, 직선 <math>AA'</math> 위에서 <math>\overrightarrow{AP}=q |
이제 <math>\overrightarrow{AA''}/\overrightarrow{AA'}=\lambda</math>가 일반적인 실수인 경우를 보이자. <math>\overrightarrow{BB''}/\overrightarrow{BB'}=\mu</math>이라고 가정하자. 임의의 유리수 <math>q</math>에 대하여, 직선 <math>AA'</math> 위에서 <math>\overrightarrow{AP}=q\overrightarrow{AA'}</math>인 점 <math>P</math>를 취하고, <math>P</math>를 지나는 <math>l</math>의 평행선과 직선 <math>BB'</math>의 교점을 <math>Q</math>라고 하자. 그렇다면 <math>\overrightarrow{BQ}=q\overrightarrow{BB'}</math>이다. <math>A''B''</math>과 <math>PQ</math>는 평행하므로, 만약 <math>\lambda<q</math>라면 <math>\mu<q</math>, 만약 <math>\lambda=q</math>라면 <math>\mu=q</math>, 만약 <math>\lambda>q</math>라면 <math>\mu>q</math>이다. 유리수가 실수 집합의 [[조밀 집합]]을 이룬다는 사실에 의하여, <math>\mu=\lambda</math>가 성립한다. |
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== 따름정리와 일반화 == |
== 따름정리와 일반화 == |
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=== 닮음 삼각형의 성질 === |
=== 닮음 삼각형의 성질 === |
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[[삼각형]] <math>ABC</math>의 두 변 <math>AB</math>, <math>AC</math>의 |
[[삼각형]] <math>ABC</math>의 두 변 <math>AB</math>, <math>AC</math>의 직선과 점 <math>B'</math>, <math>C'</math>에서 만나는 직선 <math>B'C'</math>이 다른 한 변 <math>BC</math>에 평행한다고 하자. 그렇다면, |
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:<math>\frac{\overrightarrow{AB |
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=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC'}} |
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이다.<ref name="Audin">{{서적 인용 |
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|성=Audin |
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|이름=Michèle |
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|제목=Geometry |
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|언어=en |
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|총서=Universitext |
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|출판사=Springer |
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|위치=Berlin, Heidelberg |
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|날짜=2003 |
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|isbn=978-3-540-43498-6 |
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|issn=0172-5939 |
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|doi=10.1007/978-3-642-56127-6 |
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점 <math>A</math>를 지나는 <math>BC</math>의 평행선과 직선 <math>BC</math>, <math>B'C'</math>에 탈레스 정리를 |
점 <math>A</math>를 지나는 <math>BC</math>의 평행선과 직선 <math>BC</math>, <math>B'C'</math>에 탈레스 정리를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다. |
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라고 하자. 그렇다면, |
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{{증명 끝}} |
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|날짜=1987 |
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|isbn=978-3-540-11658-5 |
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|doi=10.1007/978-3-540-93815-6 |
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}}</ref>{{rp|49, §2.5, Proposition 2.5.1}} |
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2019년 9월 11일 (수) 08:59 판
기하학에서, 탈레스 정리(영어: Thales' theorem)는 삼각형의 밑변에 평행한 직선은 다른 두 변을 같은 비로 분할한다는 정리이다.
정의
평면 위 3개의 서로 다른 평행선 , , 이 주어졌다고 하자. 또 다른 두 직선이 , , 과 하나는 각각 점 , , 에서 만나고, 다른 하나는 각각 점 , , 에서 만난다고 하자. 탈레스 정리에 따르면, 다음이 성립한다.
특히, 만약 이 에 대하여 과 같은 쪽에 있다면, 역시 에 대하여 과 같은 쪽에 있으며, 반대로 만약 이 에 대하여 과 다른 쪽에 있다면, 역시 에 대하여 과 다른 쪽에 있다.
증명
우선 인 경우를 보이자. 를 지나는 의 평행선이 과 점 에서 만난다고 하고, 을 지나는 의 평행선이 과 점 에서 만난다고 하자. 그렇다면 , , 이므로, 삼각형 와 는 합동이며, 특히 이다. 사각형 와 는 모두 평행 사변형이므로,
이다. 즉, 가 성립한다.
이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 과 양의 정수 에 대하여 이라고 하자. 선분 을 등분하고, 직선 의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 등분점을 지나는 의 평행선과 직선 의 교점 역시 선분 을 등분하며, 또한 직선 의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 이 성립한다.
이제 가 일반적인 실수인 경우를 보이자. 이라고 가정하자. 임의의 유리수 에 대하여, 직선 위에서 인 점 를 취하고, 를 지나는 의 평행선과 직선 의 교점을 라고 하자. 그렇다면 이다. 과 는 평행하므로, 만약 라면 , 만약 라면 , 만약 라면 이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합을 이룬다는 사실에 의하여, 가 성립한다.
따름정리와 일반화
닮음 삼각형의 성질
삼각형 의 두 변 , 의 직선과 점 , 에서 만나는 직선 이 다른 한 변 에 평행한다고 하자. 그렇다면,
이다.[1]:25, §I.3, Corollary 3.3
증명:
점 를 지나는 의 평행선과 직선 , 에 탈레스 정리를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다.
라고 하자. 그렇다면,
이다.
중심 닮음 변환의 성질
평면 위의 중심 닮음 변환은 모든 직선을 이와 평행하는 직선으로 변환시킨다.
증명:
우선, 중심 닮음 변환은 아핀 변환이므로, 임의의 직선에 대하여, 그 상 역시 직선이다. 이제, 중심 닮음 변환의 중심을 라고 하고, 원래 직선 위의 서로 다른 두 점 , 를 취하자. 의 상을 이라고 하고, 을 지나는 의 평행선과 직선 의 교점을 이라고 하자. 그렇다면
이므로, 역시 의 상이다. 따라서 직선 의 상직선 은 원래 직선에 평행한다.
다차원 아핀 공간 일반화
체 위의 아핀 공간 의 서로 다른 평행 아핀 초평면 가 주어졌고, 어떤 아핀 직선 가 , , 과 각각 점
에서 만난다고 하자. 그렇다면,
은 아핀 초평면 , , 의 선택에만 의존하며, 아핀 직선 의 선택과 무관하다.[2]:49, §2.5, Proposition 2.5.1
증명:
역사
각주
- ↑ Audin, Michèle (2003). 《Geometry》. Universitext (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-56127-6. ISBN 978-3-540-43498-6. ISSN 0172-5939.
- ↑ Berger, Marcel (1987). 《Geometry》. Universitext (영어) 1. 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.