분할 거듭제곱 환

가환대수학에서, 분할 거듭제곱 환(分割-環, 영어: divided power ring, 프랑스어: anneau des puissances divisées)은 표수의 배수인 $n$의 경우에도 “$x^{n}/n!$”과 유사한 연산이 가능하게 하는 구조가 주어진 가환환이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $A$
• $A$의 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq A$

그렇다면, $(A,{\mathcal {I}})$ 위의 분할 거듭제곱 구조(分割-構造,영어: divided power structure, 프랑스어: structure de puissances divisées) $(\gamma _{n})_{n\in \mathbb {N} }$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 함수 $\gamma _{n}\colon {\mathfrak {I}}\to A$

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

$\gamma _{0}(x)=1\qquad \forall x\in {\mathfrak {I}}$

$\gamma _{1}(x)=x\qquad \forall x\in {\mathfrak {I}}$

$\gamma _{n}(x)\in {\mathfrak {I}}\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in {\mathfrak {I}}$

$\gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{n-i}(x)\gamma _{n}(y)\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {I}}$

$\gamma _{n}(\lambda x)=\lambda ^{n}\gamma _{n}(x)\qquad \forall \lambda \in A,\;x\in {\mathfrak {I}}$

$\gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)={\binom {m+n}{m}}\gamma _{m+n}(x)\qquad \forall m,n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}$

$\gamma _{n}(\gamma _{m}(x))={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}\gamma _{mn}(x)\qquad \forall x\in I$

간혹 $\gamma _{n}(x)$ 대신 $x^{[n]}$와 같은 표기도 사용된다.

분할 거듭제곱 환 $(A,{\mathfrak {I}},\gamma )$은 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq A$과 그 위의 분할 거듭제곱 구조 $\gamma$가 주어진 가환환이다.

분할 거듭제곱 환 준동형

두 분할 거듭제곱 환 $(A,{\mathfrak {I}},\gamma ),(B,{\mathfrak {J}},\delta )$ 사이의 준동형 $f\colon A\to B$은 다음 두 조건을 만족시키는 환 준동형이다.

$f({\mathfrak {I}})B\subseteq {\mathfrak {J}}$

$f(\gamma _{n}(x))=\delta _{n}(f(x))\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;x\in {\mathfrak {I}}$

이에 따라, 분할 거듭제곱 환과 그 준동형들로 구성된 구체적 범주가 존재한다.

성질

다음이 주어졌다고 하자.

• 분할 거듭제곱 환 $(A,{\mathfrak {I}},\gamma )$
• 가환환 $B$
• 환 준동형 $f\colon A\to B$
• $B$의 아이디얼 ${\mathfrak {J}}$. 또한, $f({\mathfrak {I}})B\subseteq {\mathfrak {J}}$라고 하자.

그렇다면, 다음 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 $(D,{\bar {\mathfrak {J}}},\delta )$가 항상 존재함을 보일 수 있다.

임의의 분할 거듭제곱 환 $(C,{\mathfrak {K}},\varepsilon )$에 대하여,

$\hom _{(A,{\mathfrak {I}},\gamma )}((D,{\bar {\mathfrak {J}}},\delta ),(C,{\mathfrak {K}},\varepsilon ))=\hom _{(A,{\mathfrak {I}})}((B,{\mathfrak {J}}),(C,{\mathfrak {K}}))$

이 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 $(D,{\bar {\mathfrak {J}}},\delta )$을 $(B,{\mathfrak {J}})$ 위의 분할 거듭제곱 포락(分割-包絡, 영어: divided power envelope)이라고 한다. 즉, 이는 아이디얼에 분할 거듭제곱 구조를 “가장 자연스럽게” 부여한 것이다.

예

자유 분할 거듭제곱 구조

가환환

$\mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} [x,{\frac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\frac {x^{n}}{n!}},\ldots ]\subset \mathbb {Q} [x]$

의 주 아이디얼 $(x)$ 위에는 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조가 존재한다.

$\gamma _{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}\qquad \forall n\in \mathbb {N}$

이 분할 거듭제곱 대수는 하나의 생성원에 대한 자유 $\mathbb {Z}$-분할 거듭제곱 대수이다. 여기서 “자유”라는 것은, 범주 이론의 의미로 붙인 것이다.

표수 0

표수 0의 체 $K$ 위의 가환 결합 대수 $A$의 임의의 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq A$ 위에는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 존재하며, 다음과 같다.

$\gamma _{n}(x)={\frac {1}{n!}}\cdot x^{n}$

이는 임의의 분할 거듭제곱 대수에 대해서, 항상 $x^{n}=n!\gamma _{n}(x)$가 성립하기 때문에, 표수 0의 체 위의 대수인 경우에는 특히 $n!$로 나누어 줌으로써 증명 가능하다.

양의 표수

양의 표수의 체 위의 가환 결합 대수의 경우, $x^{n}=n!\gamma _{n}(x)$는 성립하더라도, $n!$로 나눌 수 없는 경우가 생길 수 있으므로, 분할 거듭제곱 구조는 유일하지 않을 수 있다.

예를 들어, 만약

• 소수 $p$의 표수를 갖는 가환환 $A$
• ${\mathfrak {I}}^{p}=0$인 멱영 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq A$

에 대하여, 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조를 정의할 수 있다.

$\gamma _{n}(x)={\begin{cases}x^{n}/n!&n<p\\0&n\geq p\end{cases}}$

일반적으로 양의 표수의 환에서 주의할 점 하나는, 아이디얼 ${\mathfrak {I}}^{p}$과, 모든 $x\in {\mathfrak {I}}$에 대해 $x^{p}$로 생성된 아이디얼 사이에는 차이가 있다는 점이다. 전자는 0이 아닐 수 있지만, 후자의 경우는 분할 거듭제곱 구조가 존재한다면 항상 0이 된다는 것을 증명할 수 있다.

응용

분할 거듭제곱 구조는 분할거듭제곱 미분연산자의 이론이나 크리스탈린 코호몰로지 이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 종수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들이 극복될 수 있다.

참고 문헌

• Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978). 《Notes on Crystalline Cohomology》. Annals of Mathematics Studies (영어). Princeton University Press. Zbl 0383.14010. 
• Hazewinkel, Michiel (1978). 《Formal Groups and Applications》. Pure and applied mathematics (영어) 78. Elsevier. ISBN 0123351502. Zbl 0454.14020. 
• Berthelot, Pierre (1974). 《Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 407. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0068636. ISBN 978-3-540-06852-5. MR 0384804.