브라우어르 차수: 두 판 사이의 차이

내용 삭제됨 내용 추가됨

인라인

2017년 4월 13일 (목) 08:04 판

대수적 위상수학에서, 두 다양체 사이의 연속 함수의 브라우어르 차수(Brouwer次數, Brouwer degree)는 함수의 정의역이 함수의 치역을 몇 번 감싸는지를 나타내는 정수이다. 기호는 $\deg$ .

정의

다음이 주어졌다고 하자.

자연수 $n\in \mathbb {N}$
두 $n$ 차원 콤팩트 연결 다양체 $X$ , $Y$
$X$ 와 $Y$ 위의 방향. 즉, 기본류 $[X]\in \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )$ , $[Y]\in \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )$ .
연속 함수 $f\colon X\to Y$

이에 따라, $X$ 와 $Y$ 의 최고차 호몰로지 군은 다음과 같다.

H_{n}(X;\mathbb {Z} )\cong H_{n}(Y;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}

그렇다면, 그 당김

f^{*}\colon \operatorname {H} _{n}(Y;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )

를 정의할 수 있다. 연속 함수 $f$ 의 브라우어르 차수 $\deg f$ 는 다음 조건을 만족시키는 유일한 정수이다.

f^{*}([X])=(\deg f)[Y]

.

예

단위 절댓값의 복소수 집합으로 여긴 원 $\mathbb {S} ^{1}=\{z\in \mathbb {Z} \colon |z|=1\}$ 을 생각하자. 이는 표준적인 방향을 갖는 1차원 콤팩트] 다양체이다. 이 경우, 연속 함수

f\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}

f\colon z\mapsto z^{n}

의 브라우어르 차수는 다음과 같다.

\deg f=n

역사

라위트전 브라우어르가 1911년 정의하였다.^[1]

참고 문헌

↑ Brouwer, L. E. J. (1911년 3월). “Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 71 (1): 97–115. doi:10.1007/BF01456931.

바깥 고리

Weisstein, Eric Wolfgang. “Brouwer degree”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Brouwer degree”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Degree of a continuous function”. 《nLab》 (영어).

[1] Brouwer, L. E. J. (1911년 3월). “Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 71 (1): 97–115. doi:10.1007/BF01456931.

[1]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-[[대수적 위상수학]]에서, 두 [[다양체]] 사이의 [[연속 함수]]의 '''차수'''(次數, {{lang|en|degree}})는 함수의 [[정의역]]이 함수의 [[치역]]을 몇 번 감싸는지를 나타내는 정수이다. 기호는 <math>\deg</math>.
+[[대수적 위상수학]]에서, 두 [[다양체]] 사이의 [[연속 함수]]의 '''브라우어르 차수'''(Brouwer次數, {{lang|en|Brouwer degree}})는 함수의 [[정의역]]이 함수의 [[치역]]을 몇 번 감싸는지를 나타내는 정수이다. 기호는 <math>\deg</math>.
 == 정의 ==
+다음이 주어졌다고 하자.
-<math>X</math>와 <math>Y</math>가 <math>n</math>차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] [[유향 다양체]]라고 하자. 유향 콤팩트 연결 다양체의 경우, 그 최고 차수 [[호몰로지 군]]은 자연스럽게 <math>H_n(X)\cong H_n(Y)\cong\mathbb Z</math>와 같은 동형을 가진다. [[연속함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어지면, 그 [[당김]] <math>f^*\colon H_n(Y)\to H_n(X)</math>를 정의할 수 있다. 연속 함수 <math>f</math>의 '''차수''' <math>\deg f</math>는 다음과 같다.
-:<math>\deg f=f^*(1)\in\mathbb Z</math>.
+* 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>
+* 두 <math>n</math>차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] [[다양체]] <math>X</math>, <math>Y</math>
+* <math>X</math>와 <math>Y</math> 위의 [[방향 (다양체)|방향]]. 즉, [[기본류]] <math>[X]\in\operatorname H_n(X;\mathbb Z)</math>, <math>[Y]\in\operatorname H_n(X;\mathbb Z)</math>.
+* [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>
+이에 따라, <math>X</math>와 <math>Y</math>의 최고차 [[호몰로지 군]]은 다음과 같다.
+:<math>H_n(X;\mathbb Z)\cong H_n(Y;\mathbb Z)\cong\mathbb Z</math>
+그렇다면, 그 [[당김]]
+:<math>f^*\colon\operatorname H_n(Y;\mathbb Z)\to\operatorname H_n(X;\mathbb Z)</math>
+를 정의할 수 있다. 연속 함수 <math>f</math>의 '''브라우어르 차수''' <math>\deg f</math>는 다음 조건을 만족시키는 유일한 정수이다.
+:<math>f^*([X])=(\deg f)[Y]</math>.
+== 예 ==
+단위 [[절댓값]]의 복소수 집합으로 여긴 원
+<math>\mathbb S^1=\{z\in\mathbb Z\colon|z|=1\}</math>
+을 생각하자. 이는 표준적인 [[방향 (다양체)|방향]]을 갖는 1차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]]] [[다양체]]이다. 이 경우, [[연속 함수]]
+:<math>f\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1</math>
+:<math>f\colon z\mapsto z^n</math>
+의 브라우어르 차수는 다음과 같다.
+:<math>\deg f=n</math>
 == 역사 ==
-[[라위트전 브라우어르]]가 1911년 정의하였다.<ref>{{저널 인용|연도=1911|월=3|권=71|호=1|쪽=97–115|제목={{lang|de|Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten}}|저널={{lang|de|Mathematische Annalen}}|언어고리=de|이름=L. E. J.|성=Brouwer|저자고리=라위트전 브라우어르|doi=10.1007/BF01456931}}</ref>
+[[라위트전 브라우어르]]가 1911년 정의하였다.<ref>{{저널 인용|날짜=1911-03|권=71|호=1|쪽=97–115|제목=Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten|저널=Mathematische Annalen|이름=L. E. J.|성=Brouwer|저자고리=라위트전 브라우어르|doi=10.1007/BF01456931|언어=de}}</ref>
 == 참고 문헌 ==
@@ 12번째 줄: / 30번째 줄: @@
 == 바깥 고리 ==
+* {{매스월드|id=BrouwerDegree|title=Brouwer degree}}
+* {{eom|title=Brouwer degree}}
 * {{nlab|id=degree of a continuous function|title=Degree of a continuous function}}