유니터리 표현

군 표현론에서, 유니터리 표현(unitary表現, 영어: unitary representation)은 모든 군 원소의 상이 어떤 복소수 힐베르트 공간 위의 유니터리 작용소를 이루는 군 표현이다.

정의

위상군 $G$의 유니터리 표현은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 복소수 힐베르트 공간 $V$
• 군 준동형 $\pi \colon G\to \operatorname {U} (V)$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $\pi$는 연속 함수이다. (여기서 $\operatorname {U} (V)$ 위에는 작용소 노름 거리 위상을 부여한다.)

같은 위상군 $G$의 두 유니터리 표현 $(\pi ,V)$, $(\pi ',V')$ 사이의 유니터리 얽힘 연산자(영어: unitary intertwining operator)는 다음 조건을 만족시키는 유니터리 작용소 $T\colon V\to V'$이다.

$T\pi (g)=\pi '(g)T'\qquad \forall g\in G$

두 유니터리 표현 사이에 유니터리 얽힘 연산자가 존재한다면, 서로 유니터리 동치(영어: unitarily equivalent)라고 한다.

성질

제2 페터-바일 정리

위상군 $G$의 유니터리 표현 $\pi \colon G\to \operatorname {U} (V)$이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 부분 복소수 벡터 공간 $W\leq V$가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• $G$의 작용에 대하여 불변이다. (즉, 임의의 $g\in G$에 대하여 $\pi (g)W=W$이다.)

그렇다면 $\operatorname {cl} (W)$와 $W^{\perp }=\{v\in V\colon \langle w|v\rangle =0\}$ 역시 닫힌 불변 부분 공간이며,

$\pi =\pi _{\operatorname {cl} (W)}\oplus \pi _{W^{\perp }}$

로 분해된다.

증명:

$W^{\perp }$가 불변 공간임을 보이려면, 임의의 $g\in G$ 및 $v\in W^{\perp }$ 및 $w\in W$에 대하여,

$\langle w|\pi (g)|v\rangle =0$

임을 보이면 족하다. 그런데 유니터리 표현의 정의에 의하여

$\langle w|\pi (g)|v\rangle =\langle \pi (g^{-1})w|v\rangle =0$

이다. 특히, $\operatorname {cl} (W)=W^{\perp \perp }$ 역시 닫힌 불변 부분 공간이다. 이에 따라:$V=\operatorname {cl} (W)\oplus W^{\perp }$ 이다.

사실, 다음과 같은 제2 페터-바일 정리가 성립한다.

임의의 콤팩트 위상군 $G$의 유니터리 표현 $(\pi ,V)$에 대하여,

$\pi ={\widehat {\bigoplus }}\pi _{i}$

$V={\widehat {\bigoplus }}V_{i}$

가 되는 유한 차원 기약 유니터리 표현들의 족 $(\pi _{i},V_{i})_{i\in I}$이 존재한다.

여기서 ${\widehat {\bigoplus }}$는 힐베르트 공간의 직합, 즉 (대수적) 직합의 완비화이다.

제1 페터-바일 정리

콤팩트 위상군 $G$ 위의 르베그 공간 $L^{2}(G;\mathbb {C} )$를 생각하자. 여기서 제곱 적분 가능이란 하르 측도에 따른 것이며, 편의상 $\operatorname {vol} (G)=1$로 규격화하자.

$G$의 임의의 유한 차원 유니터리 기약 표현 $r\colon G\to \operatorname {U} (V_{r})$에 대하여, $V_{r}$에 임의의 기저를 잡아 행렬 성분들 $r_{ij}\colon G\to \mathbb {C}$ ($i,j=1,\dots ,\dim _{\mathbb {C} }V_{r})$)을 정의할 수 있다. 페터-바일 정리(Peter-Weyl定理, 영어: Peter–Weyl theorem)에 따르면, 함수들

${\sqrt {\dim _{\mathbb {C} }V_{r}}}r_{ij}\colon G\to \mathbb {C}$

은 $L^{2}(G;\mathbb {C} )$의 정규 직교 기저를 이룬다.

역사

페터-바일 정리는 프리츠 페터(독일어: Fritz Peter)와 헤르만 바일이 1927년에 증명하였다.

참고 문헌

• Knapp, Anthony (1986). 《Representation theory of semisimple groups》 (영어). Princeton University Press. ISBN 0-691-09089-0. 
• Bump, Daniel (2004). 《Lie groups》 (영어). Springer. ISBN 0-387-21154-3. 
• 계승혁 (1998년 4월). 《군과 조화해석》. 대우학술총서 자연과학 120. 민음사. ISBN 89-3743620-5. 

바깥 고리

• “Unitary representation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Peter-Weyl theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Unitary representation”. 《nLab》 (영어). 
• “Super-unitary representation”. 《nLab》 (영어). 
• “Unitary representation of the Poincaré group”. 《nLab》 (영어). 
• “Unitary representation of the super Poincaré group”. 《nLab》 (영어). 
• Vogan, David A., Jr. “Computing the unitary dual” (PDF) (영어).