푸아송 다양체

미분기하학에서, 푸아송 다양체(Poisson多樣體, 영어: Poisson manifold)는 푸아송 괄호를 정의할 수 있는 심플렉틱 다양체의 일반화이다. 심플렉틱 다양체와 달리 괄호가 일부 점에서 퇴화할 수 있다.

정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 실수 값 매끄러운 함수들의 실수 벡터 공간 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$을 생각하자. ${\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$ 위의 리 괄호 $\{,\}$가 다음과 같은 곱셈 법칙을 만족시킨다면, $\{,\}$를 $M$ 위의 푸아송 괄호라고 한다.

• 임의의 $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$에 대하여 $\{f,-\}$는 미분을 이룬다. 즉, $\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}\qquad \forall f,g,h\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$이다.

푸아송 괄호를 갖춘 매끄러운 다양체 $(M,\{,\})$를 푸아송 다양체라고 한다.

푸아송 다양체 $(M,\{,\})$ 위에서, 임의의 $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$에 대하여 $\{f,-\}$는 $M$ 위의 벡터장을 이룬다. 이러한 꼴의 벡터장을 해밀턴 벡터장(영어: Hamiltonian vector field)이라고 하고, $X=\{f,-\}$라면 $f$를 $X$의 해밀토니언(영어: hamiltonian)이라고 한다. 해밀턴 벡터장의 리 괄호는 대응하는 해밀토니언들의 푸아송 괄호와 일치한다.

성질

야코비 항등식 및 곱셈 법칙에 따라, 푸아송 괄호는 항상 다음과 같은 꼴을 하는 것을 보일 수 있다.

$\{f,g\}=\pi (df\wedge dg)$

여기서

$\pi \in \Gamma \left(\bigwedge ^{2}TM\right)$

는 반대칭 (2,0)-텐서장이다.

예

자명한 푸아송 다양체

임의의 매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 함수 공간에 아벨 리 대수의 구조를 주면 ($\{f,g\}=0$), 이는 푸아송 구조를 이룬다.

심플렉틱 다양체

심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$가 주어졌을 때, 푸아송 괄호

$\{f,g\}=\omega ^{-1}(df,dg)$

를 정의하면, 이는 푸아송 다양체를 이룬다.

리 대수의 쌍대 공간

유한 차원 실수 리 대수 $({\mathfrak {g}},[,])$의 쌍대 공간 ${\mathfrak {g}}^{*}$ 위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 정의하자. 임의의 $f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*};\mathbb {R} )$ 및 $x\in {\mathfrak {g}}^{*}$에 대하여,

$\{f,g\}(x)=[df(x),dg(x)]$

여기서

$df(x),dg(x)\in T_{x}^{*}{\mathfrak {g}}^{*}\cong {\mathfrak {g}}$

이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다. 이러한 푸아송 괄호를 리-푸아송 구조(영어: Lie–Poisson structure)라고 한다.

참고 문헌

• Dufour, Jean-Paul; Nguyen Tien Zung (2005). 《Poisson structures and their normal forms》. Progress in Mathematics (영어) 242. Birkhäuser. doi:10.1007/b137493. ISBN 978-3-7643-7334-4. ISSN 0743-1643. 
• Guillemin, V.; Sternberg, S. (1984). 《Symplectic techniques in Physics》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-24866-3. 
• Weinstein, Alan (1998년 8월). “Poisson geometry”. 《Differential Geometry and its Applications》 (영어) 9 (1–2): 213–238. doi:10.1016/S0926-2245(98)00022-9. 

바깥 고리

• “Poisson manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Poisson manifold”. 《nLab》 (영어). 
• “Lie-Poisson structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Off-shell Poisson bracket”. 《nLab》 (영어). 
• “Poisson algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Poisson Lie algebroid”. 《nLab》 (영어).