확률 변수

확률론에서, 확률 변수(確率變數, 독일어: Zufallsvariable, 영어: random variable)는 확률 공간에서 다른 가측 공간으로 가는 가측 함수이다. 이는 확률적인 과정에 따라 값이 결정되는 변수를 나타낸다. 같은 확률 공간에 정의된 여러 확률 변수에 대하여, 이들의 조건부 확률이나 독립 여부를 정의할 수 있다.

정의

확률공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )$와 측도 공간 $(E,{\mathcal {E}})$에 대해, $(E,{\mathcal {E}})$의 값을 가지는 확률 변수 $X$는 $X:(\Omega ,{\mathcal {F}})\to (E,{\mathcal {E}})$인 가측 함수이다. 확률론에서는 측도론의 용어를 다음과 같이 대체한다.

• 확률 변수의 정의역 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )$은 확률 변수의 확률 공간이다.
• 확률 변수의 공역 $(E,{\mathcal {E}})$은 확률변수의 상태 공간(독일어: Zustandsraum, 영어: state space)이다.

확률 공간 $X\colon \Omega \to E$는 그 상태 공간 $E$에 다음과 같이 확률 측도 $\Pr(X\in \cdot )$를 정의한다.

$\Pr(X\in S)=\Pr(X^{-1}(S))\qquad \forall S\in {\mathcal {E}}$

이는 확률 변수 $X$가 $S$ 속의 값을 가질 확률이라고 한다.

만약 상태 공간이 위상 공간인 경우, 상태 공간은 통상적으로 보렐 시그마 대수를 사용한다. 예를 들어, 실수 값을 갖는 확률 변수는 실수의 보렐 시그마 대수에 대한 가측 함수이다. (반면, 보렐 시그마 대수 대신 르베그 가측 집합의 시그마 대수를 사용하면, 연속 함수이지만 가측 함수가 아닌 함수들이 존재하게 된다.)

예

주사위를 던져 나오는 눈의 수 $X$를 생각하자. 이 경우, 상태 공간은 크기가 6인 이산 가측 공간 $(\{1,2,\dots ,6\},{\mathcal {P}}(\{1,2,\dots ,6\}))$이다. 확률 공간은 임의로 잡을 수 있다.

• 예를 들어, 확률 공간이 상태 공간 $(\{1,2,\dots ,6\},{\mathcal {P}}(\{1,2,\dots ,6\}))$과 같은 가측 공간이며, 균등 측도를 주었다고 하자. 이 경우, $X\colon \{1,2,\dots ,6\}\to \{1,2,\dots ,6\}$는 임의의 순열일 수 있다.
• 확률 공간이 (르베그 측도가 갖추어진) 단위 구간 $(0,1]$라고 하자. 그렇다면, 예를 들어 $X\colon r\mapsto \lceil 6r\rceil$로 잡을 수 있다.

참고 문헌

• Doob, Joseph L. (1996년 8월). “The development of rigor in mathematical probability (1900–1950)”. 《The American Mathematical Monthly》 103 (7). doi:10.2307/2974673. ISSN 0002-9890. JSTOR 2974673. MR 1404084. Zbl 0865.01011. 
• Kersting, Götz; Wakolbinger, Anton (2014). 《Zufallsvariable und Stochastische Prozesse》. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8432-6. 
• Fahrmeir, Ludwig; Künstler, Rita; Pigeot, Iris; Tutz, Gerhard (2012). 《Statistik: Der Weg zur Datenanalyse》 Auflage 7판. Springer. ISBN 978-3-6420-1938-8. 
• Papula, Lothar (2011). 《Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3》 Auflage 6판. Vieweg+Teubner Verlag. ISBN 978-3-8348-1227-8. 

바깥 고리

• Zufallsvariablen (독일어)
• Zufallsvariable, Erwartungswert und Streuung (독일어)
• “Random variable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Random variable”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “State space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.