스택 (수학)

수학에서, 스택(영어: stack, 프랑스어: champ 샹^[*])은 대략 "범주 값을 갖는 층"이다. 위상 공간의 범주나 스킴의 범주 위의 스택은 오비폴드와 같은, 국소적으로 어떤 군의 작용에 대한 몫으로 나타내어지는 공간을 나타낸다. 흔히, (섬세한) 모듈러스 공간이 범주의 일반적인 대상으로 존재하지 않을 경우, 스택으로 존재하는 경우가 많다.

정의

올범주

범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 준군 올범주(영어: category fibered in groupoids) $({\tilde {\mathcal {C}}},F)$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\tilde {\mathcal {C}}}$는 범주이다.
• $F\colon {\tilde {\mathcal {C}}}\to {\mathcal {C}}$는 함자이다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$ 및 사상 $f\colon X\to Y$ 및 ${\tilde {Y}}\in {\tilde {\mathcal {C}}}$에 대하여, 만약 $F({\tilde {Y}})=Y$라면, 다음을 만족시키는 대상 ${\tilde {X}}\in {\tilde {\mathcal {C}}}$ 및 사상 ${\tilde {f}}\colon {\tilde {X}}\to {\tilde {Y}}$가 존재한다.

  임의의 사상 ${\tilde {g}}\colon {\tilde {Z}}\to {\tilde {Y}}$에 대하여, $F{\tilde {g}}=g\colon Z\to Y$이며 $g=f\circ h$라면, ${\tilde {g}}={\tilde {f}}\circ {\tilde {h}}$이며 $F{\tilde {h}}=h$인 유일한 ${\tilde {h}}\colon {\tilde {Z}}\to {\tilde {X}}$가 존재한다. 이 경우 ${\tilde {h}}=F^{*}h$로 쓴다.

만약 ${\tilde {X}}\in {\tilde {\mathcal {C}}}$ 및 $X\in {\mathcal {C}}$에 대하여 $F({\tilde {X}})=X$라면, ${\tilde {X}}$를 $X$의 올림(영어: lift)이라고 한다.

준스택

위치 ${\mathcal {C}}$ 위의 준스택(영어: prestack, 프랑스어: préchamp 프레샹^[*])은 다음 조건을 만족시키는 ${\mathcal {C}}$ 위의 준군 올범주 $F\colon {\tilde {\mathcal {C}}}\to {\mathcal {C}}$이다.

• 임의의 대상 $U\in {\mathcal {C}}$ 및 ${\tilde {X}},{\tilde {Y}}\in {\mathcal {C}}$에 대하여, 다음 함자가 층을 이룬다.

  ${\mathcal {C}}/U\to \operatorname {Set}$

  $(f\colon V\to U)\mapsto \hom _{\tilde {\mathcal {C}}}(F^{*}{\tilde {X}},F^{*}{\tilde {Y}})$

하강 데이터

준스택 $F\colon {\tilde {\mathcal {C}}}\to {\mathcal {C}}$ 위의 하강 데이터(영어: descent datum)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\mathcal {C}}$의 각 대상 $U$에 대하여, 덮개 $\{\iota _{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I}$
• 각 $i\in I$에 대하여, $U_{i}$의 올림 ${\tilde {U}}_{i}\in {\tilde {\mathcal {C}}}$
• 동형 사상 $f_{ij}\colon {\tilde {U}}_{i}|_{U_{ij}}\to {\tilde {U}}_{j}|_{U_{ij}}$

이들은 다음과 같은 쌍대순환 조건(영어: cocycle condition)을 만족시켜야 한다.

$f_{ki}=f_{jk}\circ f_{ji}$

효과적 하강 데이터(영어: effective descent datum)는 다음 조건을 만족시키는 $U$의 올림 ${\tilde {U}}$ 및 동형 사상 $f_{i}\colon U|_{U_{i}}\to U_{i}$가 존재하는 하강 데이터 $(U_{i},{\tilde {U}}_{i},f_{ij})$이다.

$f_{ij}=f_{j}|_{U_{ij}}\circ (f_{i}|_{U_{ij}})^{-1}$

스택은 모든 하강 데이터가 효과적 하강 데이터인 준스택이다.

예

주어진 종수 및 구멍 수의 대수 곡선의 모듈러스 공간 ${\mathcal {M}}_{g,n}$은 들리뉴-멈퍼드 스택을 이룬다.

참고 문헌

• Edidin, Dan (2003). “What is... a Stack?” (PDF). 《Notices of the AMS》 50 (4): 458–459. 
• Fantechi, Barbara (2001). 〈Stacks for everybody〉 (PDF). 《European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000. Volume 1》. Progress in Mathematics 201. Birkhäuser. 349–359쪽. doi:10.1007/978-3-0348-8268-2_20. ISBN 3-7643-6417-3. MR 1905329. 
• Gómez, Tomás L. (2001). “Algebraic stacks”. 《Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences》 111 (1): 1–31. arXiv:math/9911199. doi:10.1007/BF02829538. MR 1818418. 
• Laumon, Gérard; Moret-Bailly, Laurent (2000). 《Champs algébriques》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge 39. Springer. doi:10.1007/978-3-540-24899-6. ISBN 978-3-540-65761-3. MR 1771927. 

바깥 고리

• “Stack”. 《nLab》 (영어). 
• “Algebraic stack”. 《nLab》 (영어). 
• “Geometric stack”. 《nLab》 (영어). 
• “Artin stack”. 《nLab》 (영어). 
• {{nlab|id=Deligne-Mumford stack}
• “Topological stack”. 《nLab》 (영어). 
• “Differentiable stack”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 오비폴드
• 스킴 (수학)