초기하함수

초기하함수(超幾何函數, 영어: hypergeometric function)는 기하급수를 일반화시키는 일련의 특수 함수들이다. 일련의 거듭제곱 급수로 나타내어지고, 어떤 선형 상미분 방정식을 만족시킨다.

정의

초기하 미분 방정식(영어: hypergeometric differential equation)은 미지 함수 $w(z)$에 대한, 다음과 같은 꼴의 $\max\{p,q+1\}$차 선형 상미분 방정식이다.

$z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}+a_{n}\right)w(z)=z{\frac {d}{dz}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}+b_{n}-1\right)w(z)$

여기서

$\mathbf {a} =(a_{1},\dots ,a_{p})\in \mathbb {R} ^{p}$

$\mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{q})\in \mathbb {R} ^{q}$

는 임의의 상수들이다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 급수로 전개시킬 수 있다.

${}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {a} )_{n}}{(\mathbf {b} )_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}$

여기서

$(x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)$

은 상승 포흐하머 기호이며,

$(\mathbf {a} )_{n}=(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\cdots (a_{p})_{n}$

$(\mathbf {b} )_{n}=(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\cdots (b_{q})_{n}$

이다. 이 급수 ${}_{p}F_{q}$를 초기하급수(영어: hypergeometric series)라고 하며, 만약 이 급수가 수렴하는 경우 초기하함수라고 한다.

예

₀F₀

${}_{0}F_{0}(;;z)=\exp z$는 지수 함수이다.

₁F₀

${}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}$는 기하급수이다. 이로부터 "초기하"라는 이름이 유래하였다.

₀F₁

${}_{0}F_{1}(;b;z)$는 합류 초기하 극한 함수(영어: confluent hypergeometric limit function)라고 하며, 다음과 같이 베셀 함수로 나타낼 수 있다.

$J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right)$

₁F₁

${}_{1}F_{1}(;b;z)$는 제1종 합류 초기하함수(영어: confluent hypergeometric function of the first kind)라고 한다.

₂F₁

${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$는 가우스 초기하함수(영어: Gaussian hypergeometric function)라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다.

가우스 초기하함수의 특수한 경우로는 다음을 들 수 있다.

$2z{}_{2}F_{1}(1/2,1;3;z^{2})=\arcsin z$

${\frac {\pi }{2}}{}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;z^{2})=K(z)=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-z^{2}x^{2})}}}$

여기서 $K(z)$는 제1종 타원적분이다.

성질

정의에 따라, 초기하함수 ${}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)$는 $\{a_{1},\dots ,a_{p}\}$나 $\{b_{1},\dots ,b_{q}\}$의 순서에 관계없다. 또한, 만약 $\{a_{1},\dots ,a_{p}\}$와 $\{b_{1},\dots ,b_{q}\}$에 교집합이 있으면, 이들을 서로 약분할 수 있다. 예를 들어 $a_{p}=b_{q}$라면

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)={}_{p-1}F_{q-1}(a_{1},\dots ,a_{p-1};b_{1},\dots ,b_{q-1};z)$

이다.

참고 문헌

• Gasper, George; Mizan Rahman (2004). 《Basic hypergeometric series》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 96 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511526251. ISBN 0-521-83357-4.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Yoshida, Masaaki (1997). 《Hypergeometric functions, my love: modular interpretations of configuration spaces》. Aspects of Mathematics 32. Vieweg+Teubner. doi:10.1007/978-3-322-90166-8. ISBN 978-3-322-90168-2. ISSN 0179-2156. MR 1453580. 
• Slater, Lucy Joan (1966). 《Generalized hypergeometric functions》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688. 

바깥 고리

• “Hypergeometric function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hypergeometric equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hypergeometric series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hypergeometric function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Generalized hypergeometric function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Cattani, Eduardo (2006년 7월 14일). “Three lectures on hypergeometric functions” (PDF). 
• “오일러-가우스 초기하함수2F1”.