등변 코호몰로지

대수적 위상수학에서, 등변 코호몰로지(等變cohomology, 영어: equivariant cohomology)는 군 코호몰로지와 특이 코호몰로지를 일반화하는 코호몰로지 이론이다.

정의

$X$가 위상공간이고, $G$가 위상군이라고 하자. 군의 작용 $X\times G\to G$를 생각하자. 그렇다면 등변 코호몰로지 $H_{G}^{\bullet }(X)$는 호모토피 궤도 공간(영어: homotopy orbit space)이라는 위상공간 $X_{{\text{h}}G}$의 특이 코호몰로지이다.

$H_{G}^{\bullet }(X)=H^{\bullet }(X_{{\text{h}}G})$

호모토피 궤도 공간은 다음과 같이 정의된다. $G$의 분류 공간 $EG\to BG$를 생각하자. 그렇다면 $EG$는 $G$-주다발이므로 $G$의 작용이 존재한다. 따라서, $X\times BG$에 (대각) $G$-작용이 존재한다. 호모토피 궤도 공간 $X_{{\text{h}}G}$는 이 작용의 궤도 공간이다.

$X_{{\text{h}}G}=X\times _{G}EG$

예

$G$가 자명군이라고 하자. 자명군의 분류 공간은 하나의 점만을 갖는 위상공간 $BG=EG=\{\bullet \}$이다. 따라서, $X\times _{G}EG\cong X$이며, 이 경우 $H_{G}^{\bullet }(X)\cong H^{\bullet }(X)$이다. 즉, 자명군에 대한 등변 코호몰로지는 단순히 특이 코호몰로지이다.

반대로, $X$가 하나의 점만을 같는 위상공간 $X=\{\bullet \}$이라고 하자. 이 경우, $X\times _{G}EG\cong BG$이므로, $H_{G}^{\bullet }(X)\cong H^{\bullet }(BG)$는 단순히 $G$의 군 코호몰로지이다.

참고 문헌

• Tu, Loring W. (2011년 3월). “What is … equivariant cohomology?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 58 (3): 423–426. 
• Tymoczko, Julianna S. “An introduction to equivariant cohomology and homology, following Goresky, Kottwitz, and MacPherson”. arXiv:math/0503369. Bibcode:2005math......3369T. 
• Guillemin, Victor W.; Shlomo Sternberg, Jochen Brüning (1999). 《Supersymmetry and Equivariant de Rham Theory》. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03992-2. ISBN 978-3-540-64797-3.