대수적 K이론

수학에서, 대수적 K이론(영어: algebraic K-theory)은 환의 가군들을 다루는 K이론의 한 종류다.

역사

알렉산더 그로텐디크가 그로텐디크-리만-로흐 정리를 증명하면서 도입하였다. 역사적으로, 위상 K이론보다 더 먼저 등장하였다.

정의

대수적 K이론에서 다루는 중심 개념은 (대수적) K군(영어: algebraic K-group) $K_{0}$, $K_{1}$, …이다. 이들은 주어진 환 $R$에 대하여 주어지는 일련의 아벨 군들이다.

K₀

$R$이 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 대수적 0차 K군 $K_{0}(R)$은 $R$의 유한 생성(finitely generated) 사영 가군들의 그로텐디크 군이다. 이는 세르-스완 정리에 따라서, 벡터 다발의 그로텐디크 군인 위상 K군에 대응한다.

유사환에 대해서도 K군을 정의할 수 있다. 포함 함자 $\operatorname {Ring} \hookrightarrow \operatorname {Rng}$의 수반 함자를 사용해, 유사환 $S$에 단위원을 추가해 환 $R\cong S\oplus \mathbb {Z}$으로 만들 수 있다. 이에 따라 짧은 완전열

$0\to S\to R\to 0$

이 존재한다. 그렇다면 $S$의 K군 $K_{0}(S)$는 이에 의하여 유도되는 군 준동형사상

$K_{0}(R)\to K(\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$

의 핵이다.

고차 K군

고차 K군 $K_{1},K_{2},K_{3},\dots$ 또한 존재한다. 이는 대니얼 퀼런이 정의하였다. 대수적 K이론은 위상 K이론과 달리 보트 주기성(Bott periodicity)을 보이지 않는다.

참고 문헌

• Weibel, Charles A. (2013년 5월 18일). 《The K-book: an introduction to algebraic K-theory》. Graduate Studies in Mathematics 145. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9132-2. Zbl pre06123945. 
• Zois, Ioannis P. (2010년 8월). “18 lectures on K-Theory”. arXiv:1008.1346. Bibcode:2010arXiv1008.1346Z. 
• Cortiñas, Guillermo (2011). 〈Algebraic v. topological K-theory: a friendly match〉. 《Topics in algebraic and topological K-theory》. Springer Lecture Notes in Mathematics 2008. Berlin: Springer. 103–165쪽. arXiv:0903.3983. Bibcode:2009arXiv0903.3983C. doi:10.1007/978-3-642-15708-0_3. ISBN 978-3-642-15707-3. MR 2762555. Zbl 1216.19002.