수학에서, 세타 표현(θ表現, 영어: theta representation)은 하이젠베르크 군의, 정칙 함수의 공간 위의 특별한 표현이다. 이 표현에서, 정수 계수 하이젠베르크 군의 작용의 고정점은 야코비 세타 함수이다.[1]:5–11, §Ⅰ.3
임의의 양의 실수
에 대하여, 복소평면 위에, 다음과 같은 측도를 정의하자.
![{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mu _{t}(z)=\exp \left(-2\pi t^{-1}(\operatorname {Im} z)^{2}\right)\,\mathrm {d} ^{2}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fae7e09834399913547e1d7e3b7ae3982f0ed7)
이 측도에 대하여, 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \langle f|g\rangle =\int _{\mathbb {C} }\mathrm {d} ^{2}\mu (z)\,{\bar {f}}({\bar {z}})g(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f24b697d117731c469c89ac9ef9ef4a672bc114)
이 내적에 대한 노름이 유한한 정칙 함수들의 복소수 힐베르트 공간을
라고 하자.
이제, 임의의
에 대하여,
위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.[1]:6
![{\displaystyle (S_{a}f)(z)=f(z+a)=\exp(a\partial )f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39516a879d792c43e9232bf6c6a4d47b39988f5d)
![{\displaystyle (T_{a}f)(z)=\exp(\mathrm {i} \pi a^{2}\tau +2\pi \mathrm {i} bz)f(z+b\tau )=\exp(\mathrm {i} \pi b^{2}\tau +2\pi \mathrm {i} bz)S_{b\tau }f=\exp(2\pi \mathrm {i} bz+b\tau \partial )f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617160b6309cdc3a351a258ed702f472cf5712fd)
![{\displaystyle (C_{a})f(z)=\exp(2\pi \mathrm {i} a)f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2591f53096eb7eff309c5b3ff837219761440c90)
이들은 다음과 같은 교환 관계를 갖는다.
![{\displaystyle S_{a}S_{b}=S_{a+b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc7fdee7399d5938ea369bd7dec190f127002c8)
![{\displaystyle T_{a}T_{b}=T_{a+b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f34fd5698fa7e27fb4a901042f50ccd3ad4133)
![{\displaystyle S_{a}T_{b}=C_{ab}T_{b}S_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac8aded9a2b9b6bcace12532b9b786ca705d518)
물론,
는
및
와 교환한다. 특히, 만약
일 때
가 된다.
이에 따라, 집합
![{\displaystyle G_{\tau }=\{S_{a}T_{b}C_{c}\colon a,b,c\in \mathbb {R} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ef4d3d985982fb55757a3a6b78c0b2b1de3bff)
는 군을 이룬다.
![{\displaystyle S_{a}T_{b}C_{c}S_{a'}T_{b'}C_{c'}=S_{a+a'}T_{b+b'}C_{a'b+c+c'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5157db695b5ae7e12a66090dbce352ce4416ad21)
이 군은
와 미분 동형이며, 그 범피복군은 하이젠베르크 군
이다. 즉, 이는
위의, 하이젠베르크 군의 표현을 정의한다. 이를 세타 표현이라고 한다.
임의의
의 값에 대하여, 세타 표현은 하이젠베르크 군의 기약 표현이며, 항상 바일 표현과 유니터리 동치이다.
는 다음과 같은 부분군을 갖는다.
![{\displaystyle \Gamma _{\tau }=\{S_{a}T_{b}\colon a,b\in \mathbb {Z} \}\leq G_{\tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c512b5416176d5ddb301439e0aa6d052064ef01)
이는 물론
과
으로 생성되는 2차 자유 아벨 군이다.
![{\displaystyle \Gamma _{\tau }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d1ecd469eb9f4f3f37470f11ccaddeebc556b5)
이는 다음과 같은 가환 그림을 갖는다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\Gamma _{\tau }&\to &G_{\tau }\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Heis} (3;\mathbb {Z} )&\to &\operatorname {Heis} (3;\mathbb {R} )\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482c125a813e8e6b38592107d2118fbb22c3b218)
의 작용의 고정점은 1차원 복소수 벡터 공간이며, 그 기저는 야코비 세타 함수
![{\displaystyle \vartheta (z;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81e0322e64a88cacd34d1f3900bf0e7fb3a71d1)
이다.
데이비드 멈퍼드가 1983년에 도입하였다.[1]:5–11, §Ⅰ.3
같이 보기[편집]