군론에서 쌍순환군(雙循環群, 영어: dicyclic group) 또는 일반화 사원수군(一般化四元數郡, 영어: generalized quaternion group)은 짝수 크기의 순환군의 2배 확대이다. 사원수군의 일반화이다.
아벨 군
및 차수 2의 원소
가 주어졌을 때, 쌍순환군
는 다음 조건들을 만족시키는 군
이다.
- 부분군의 지표는
![{\displaystyle [G:A]=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3da7f6006705ec3f92eb2bc30f6e11b93c47e1)
는
와 어떤
에 의하여 생성되며, 또한
이며
이다.
이러한 군은 항상 유일하다. 만약
의 군의 표시가
![{\displaystyle A=\langle \{a_{i}\}_{i\in I}|R\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c15794fbd4b35ac4229da51cecfabd92eea6395)
라면,
의 표시는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Dic} (A,y)=\langle \{a_{i}\}_{i\in I},x|R,\;x^{-1}a_{i}x=a_{i}^{-1},\;x^{2}=y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ae35896b3a00bcf7ad6e33e8e95d6c5f8b5c5f)
짝수 크기의 순환군
의 경우, 차수가 2인 원소
이 유일하게 존재한다.
에 대한 쌍순환군을
이라고 한다. 이 군의 표시는 다음과 같다.[1]:347–348
![{\displaystyle \operatorname {Dic} (n)=\langle a,x|a^{2n}=1,\;x^{2}=a^{n},\;x^{-1}ax=a^{-1}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535e6a08e5e95d51de7c6faf7b4a3b2a5c978eef)
이는 다음과 같은 사원수 가역원군의 부분군으로 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {Dic} (n)=\{\exp(i\pi m/n)j^{k}\colon m,k\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4edeb4ecd4806adec443faa58c6b57fa2f7f1b)
다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 1\to A\hookrightarrow \operatorname {Dic} (A,y)\twoheadrightarrow \operatorname {Cyc} (2)\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d8f8eb6b2031c8b713f084247c752c18338456)
그러나 이는 분할 완전열이 아니다.
다음과 같은 가환 그림이 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Dic} (A,y)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Dih} (A/\langle y\rangle )\\\cup &&\cup \\A&\twoheadrightarrow &A/\langle y\rangle \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b4599ae476cd07be5c49b561c6eae6551674ea)
여기서
는 정이면체군이다.
낮은 차수의 쌍순환군은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Dic} (1)\cong \operatorname {Cyc} (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8e0d0c2f425a35adcdaf0844baac7c240d2f1b)
(사원수군)
![{\displaystyle \operatorname {Dic} (3)\cong \operatorname {Cyc} (3)\rtimes \operatorname {Cyc} (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3776f9ad0deb7b9b99fb647e03c5511ff345b7fc)
![{\displaystyle \operatorname {Dic} (6)\cong \operatorname {Cyc} (3)\rtimes Q_{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3175c7cac811b33caac9c2eb9c5c0ab82e88a366)
![{\displaystyle \operatorname {Dic} (7)\cong \operatorname {Cyc} (7)\rtimes \operatorname {Cyc} (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e4dd980e808a519b68f32cc363582725d5ecdd)
의 반직접곱 표현에서,
의
위의 작용은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} (3)=\langle a|a^{3}=1\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e5c7961ebb6a63d8c827b006357c484a6892b9)
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} (4)=\langle b|b^{4}=1\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66a4192b5b50ed4dcf48bd5ff1d3a3f9d6c35d5)
![{\displaystyle b\colon {\begin{cases}1\mapsto 1\\a\mapsto a^{2}\\a^{2}\mapsto a\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682446045fc3f0196af0fd449230bda15dabfbc7)
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]