미분기하학에서, 횡단성(橫斷性, 영어: transversality)은 두 부분 다양체 또는 (보다 일반적으로) 같은 공역을 갖는 두 함수 사이에 정의되는 대칭 관계이다. 횡단성은 작은 호모토피에 대하여 불변이며(안정성), 거의 모든 함수에 대하여 성립한다(일반성). 서로 횡단적인 두 부분 다양체의 교집합은 부분 다양체를 이룬다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
,
, ![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 매끄러운 함수
, ![{\displaystyle g\colon Y\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747e5e8621c5a951c0a0576b4897f8b7b9f4954a)
만약 다음 조건이 성립한다면,
와
가 서로 횡단적이라고 하며,
로 표기한다.
- 임의의
및
에 대하여, 만약
라면,
이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&M&{\overset {g}{\leftarrow }}&Y\\x&\mapsto &m&{\leftarrow }\!\;\!{\mapsto \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{\color {White}\!\;\blacksquare \!\!\blacksquare \!\!\!\!\!\!\!\!\!}&y\\\mathrm {T} _{x}X&{\underset {\mathrm {D} _{x}f}{\to }}&\mathrm {T} _{m}M&{\underset {\mathrm {D} _{y}g}{\leftarrow }}&\mathrm {T} _{y}Y\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc639e6bc3ad0f3d6c8cd6e4ff0a4eb9d1cea594)
부분 다양체
는 포함 사상
으로 여길 수 있다. 두 부분 다양체(또는 부분 다양체와 매끄러운 함수)가 서로 횡단적이라는 것은 이 포함 사상에 대한 것이다.
매끄러운 다양체
의 부분 다양체
및 매끄러운 함수
가 주어졌다고 하자. 만약
라면,
![{\displaystyle g^{-1}(X)=\{y\in Y\colon g(y)\in X\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95dc54554ff59d0741a68b00a05ad1861847d70)
는
의 부분 다양체이며, 그 여차원은
의 여차원과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {codim} _{Y}g^{-1}X\dim Y-\dim g^{-1}(X)=\operatorname {codim} _{M}X=\dim M-\dim X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9116629d8e62592ef9fe0a21b00857b6290d2f7)
특히, 만약
역시 매장이라고 하자. 즉, 두 부분 다양체
가 주어졌다고 하고,
라고 하자. 그렇다면,
역시 부분 다양체이며,
![{\displaystyle \operatorname {codim} _{M}(X\cap Y)=\operatorname {codim} _{M}X+\operatorname {codim} _{M}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679ac4ab113ffd6fe927e8ed12616dfa9a0acb9a)
이다. 즉,
이다.
안정성[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 함수
![{\displaystyle f\colon X\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01174240f796f3f567c3a311ff2fddc1e05edd9f)
- 매끄러운 호모토피
, ![{\displaystyle (t,y)\mapsto g_{t}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f28f25e4a181b81cb0a31fc8a3ee2d1267a299)
그렇다면, 만약
이라면,
![{\displaystyle \inf\{t\in [0,1]\colon f\pitchfork g_{t}\}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83b16c1c41fdc6c764d319817c2b7913ddefd2e)
이다. 즉, 어떤
에 대하여, 모든
에 대하여
이게 된다.
일반성[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle X,Y,M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489b532207c4af523f8a2687781958f91c30792e)
- 경계다양체
![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
- 매끄러운 함수
![{\displaystyle f\colon X\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01174240f796f3f567c3a311ff2fddc1e05edd9f)
- 매끄러운 함수
, ![{\displaystyle (s,y)\mapsto g_{s}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc2d8c58d0fffc3fa898029c622e2a17d7afc10)
또한,
![{\displaystyle f\pitchfork g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a9c2039fc75a44e9c63a7d13cca546d761453a9)
![{\displaystyle f\pitchfork (g\upharpoonright \partial S\times Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8edb1a140608a55080af754044f3e71f7a0f6f)
라고 하자. 톰 횡단 정리(영어: Thom transversality theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.
- 거의 모든
에 대하여,
이다.
- 거의 모든
에 대하여,
이다.
여기서 “거의 모든”은
또는
의 르베그 측도에 대한 것이다. 즉, 이 조건이 실패하는
의 집합은 영집합이다.
톰 횡단 정리는 르네 톰이 증명하였다.
외부 링크[편집]