이론물리학에서 피에르츠-파울리 작용(Fierz-Pauli作用, 영어: Fierz–Pauli action) 또는 선형화 중력(線型化重力, 영어: linearized gravity)은 스핀 2의 무질량 자유 입자를 나타내는 작용이다.[1] 이는 일반 상대성이론 및 다른 중력 이론들의 선형화 극한에 해당한다.
차원 민코프스키 공간 위에서, 대칭 (0,2)차 텐서장
를 생각하자. 그렇다면, 이에 대한 피에르츠-파울리 작용은 다음과 같다.[1]:63, (3.84)
![{\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{D}x\,{\mathcal {L}}_{\text{FP}}=\int \mathrm {d} ^{D}x\,\left({\frac {1}{4}}\partial ^{\mu }h^{\nu \rho }\partial _{\mu }h_{\nu \rho }-{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }h^{\nu \rho }\partial _{\nu }h_{\mu \rho }+{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\operatorname {tr} h)\partial ^{\nu }h_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}(\partial ^{\mu }\operatorname {tr} h)(\partial _{\mu }\operatorname {tr} h)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1762f919b131a4bb1deaf9190861cfbe5118e3)
여기서
는 민코프스키 공간의 계량이다.
- 첨자는
를 사용하여 올리거나 내린다. 즉,
,
이다.
는
의 대각합이다.
피에르츠-파울리 작용의 운동 방정식은 다음과 같다.
![{\displaystyle 0=\partial ^{2}h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\partial ^{\rho }(\partial _{\mu }h_{\nu \rho }+\partial _{\nu }h_{\mu \rho })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0934f924e2ee0a27d3ab0df14b475b492484c18)
텐서장
는 다음과 같은 게이지 변환을 갖는다.
![{\displaystyle \delta _{X}h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }X_{\nu }+\partial _{\nu }X_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22484b8ee0969d2cb675c3fa4140aef0a956bf90)
게이지 변환을 사용하여,
개의 성분 가운데
개를 없앨 수 있으며, 남은
개의 성분들은 스핀이 2인 자유 무질량 입자를 나타낸다. 이는 4차원에서 총 2개의 질량 껍질 위 자유도에 해당한다. (만약 게이지 대칭을 가하지 않으면, 이는 4차원에서 일반적으로 5개의 질량 껍질 위 자유도에 해당하며, 이는 1개의 스핀 2의 입자와 1개의 스핀 1의 입자와 1개의 스핀 0 입자에 해당한다.)
이 작용은 두 가지로 유도할 수 있다.
차원 일반 상대성이론에서, 리만 계량을 다음과 같이 전개하자.
![{\displaystyle {\hat {g}}^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }-\kappa ^{-1}h_{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab57fabca225999787e59c473035ec416d31aa7)
![{\displaystyle {\hat {g}}_{\mu \nu }{\hat {g}}^{\nu \rho }=\delta _{\mu }^{\rho }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490a65fa0bcb4be596a9d594355f746ae7478af6)
![{\displaystyle g_{\mu \nu }={\sqrt {|\det {\hat {g}}|}}{\hat {g}}_{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c62ca1926fc387ac3084d4806b3bef25f0cf96)
그렇다면, 아인슈타인-힐베르트 작용을 다음과 같이 전개할 수 있다.
![{\displaystyle S_{\text{EH}}=\int \mathrm {d} ^{D}x\,{\sqrt {|\det g|}}R=\int \mathrm {d} ^{D}x{\mathcal {L}}_{\text{PF}}+{\mathcal {O}}(h^{4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f198a4aa5f1e1f50a55d91525473892a56fb575f)
즉, 전개에서 최소차 항만을 남기면 피에르츠-파울리 이론을 얻는다.
일반적으로, 대칭 2차 텐서장
의 로런츠 대칭 불변 작용은 다음과 같은 네 개의 항을 가질 수 있다
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\ni \partial _{\mu }h_{\nu \rho }\partial ^{\mu }h^{\nu \rho },\;\partial _{\mu }h_{\nu \rho }\partial ^{\nu }h^{\mu \rho },\;(\partial _{\mu }\operatorname {tr} h)\partial ^{n}uh^{\mu \nu },\;(\partial _{\mu }\operatorname {tr} h)(\partial ^{\mu }\operatorname {tr} h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0eeaad03c386246449ec650c17ada7d3f413bb1)
물론, 그 계수들은 일반적으로 임의적이다. 그러나 여기서 운동 방정식
![{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta h^{\mu \nu }}}=H^{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6a3525bdf02b6de364c5bc36748a5f7ec8c787)
으로부터 비앙키 항등식
![{\displaystyle \partial _{\mu }H^{\mu \nu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a4cb4f0584f0aae389363e3d55e18ba1729efd)
이 운동 방정식을 사용하지 않고 성립하려면, 이 계수 사이의 비들을 계산할 수 있다. (물론, 작용 전체에 상수를 곱해도 상관이 없다.) 이를 계산하면, 피에르츠-파울리 작용을 얻는다.
마르쿠스 에두아르트 피에르츠(독일어: Markus Eduard Fierz, IPA: [ˈmaʁkʊs ˈeːduaʁt ˈfiːɐ̯t͡s])와 볼프강 파울리가 1939년에 도입하였다.[2]