파데 근사

해석학에서, 파데 근사(Padé近似, 영어: Padé approximant)는 어떤 함수를 유리 함수로 근사하는 방법이다. 테일러 급수의 일반화이다.

정의

매끄러운 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 및 음이 아닌 정수 $m,n\in \mathbb {N}$이 주어졌다고 하자. $f$의 $(m,n)$차 파데 근사 $[m/n]_{f}$는 다음과 같은 꼴의 유리 함수이다.

$[m/n]_{f}(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{i=1}^{n}b_{i}x^{i}}}$

이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

$f^{(k)}(0)=[m/n]_{f}^{(k)}(0)\qquad \forall k\in \{0,\dots ,m+n\}$

즉, $(m,n)$차 파데 근사는 $m+n$차 도함수까지 원래 함수와 일치한다.

주어진 $(m,n)$에 대하여, 파데 근사는 (만약 존재한다면) 유일하다. $n=0$이라면, 파데 근사는 매클로린 급수가 된다. 마찬가지로, $m=0$이며 $f(0)\neq 0$이라면 $f$ 파데 근사는 $1/f$의 매클로린 급수의 역수이다.

계산

매끄러운 함수 $f$의 파데 근사를 계산한다고 하자. $f(x)$의 $m+n$차 매클로린 급수를 $T(x)\in \mathbb {R} [x]$라고 하자.

$f(x)=T(x)+{\mathcal {O}}(x^{m+n+1})$

만약

$[m/n]_{f}(x)={\frac {p(x)}{1+xq(x)}}$

라면, 이는

$p(x)=T(x)(1+xq(x)){\pmod {x^{m+n+1}}}$

과 동치이다. 이는 양변을 전개하여, $m+n$개의 변수에 대한 $m+n$개의 연립 1차 방정식으로 놓을 수 있으므로, 쉽게 풀 수 있다.

예

지수 함수 $x\mapsto \exp x$의 파데 근사들은 다음과 같다.

m \ n	0	1	2	3
0	${\frac {1}{1}}$	${\frac {1}{1-z}}$	${\frac {1}{1-z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}}}$	${\frac {1}{1-z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{3}}}$
1	${\frac {1+z}{1}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{2}}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{4}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}z^{3}}}$
2	${\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}}{1}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}z^{2}}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}z^{3}}}$
3	${\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{3}}{1}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{4}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}z^{2}}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{3}}}$
4	${\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}z^{4}}{1}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {4}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{10}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{15}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{5}}}z}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{5}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{30}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{360}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{30}}}z^{2}}}$	${\frac {1+{\scriptstyle {\frac {4}{7}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{7}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {2}{105}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{840}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{7}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{14}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{210}}}z^{3}}}$

일반적으로, $\exp(x)$의 $(m,n)$차 파데 근사는

$R_{m,n}(x)={\frac {{}_{1}F_{1}(-m;-m-n;x)}{{}_{1}F_{1}(-n;-m-n;-x)}}$

이다. 여기서 ${}_{1}F_{1}$은 초기하 함수의 하나이다.

역사

프랑스의 수학자 앙리 외젠 파데(프랑스어: Henri Eugène Padé, 1863~1953)가 박사 학위 논문에서 도입하였다.

참고 문헌

• Baker, George A., Jr.; P. Graves-Morris (1996). 《Padé Approximants》 (영어). Cambridge University Press. 
• Baker, George A., Jr. “Padé approximant”. 《Scholarpedia》 (영어) 7 (6): 9756. doi:10.4249/scholarpedia.9756. ISSN 1941-6016. 
• Brezinski, C.; M. Redivo Zaglia (1991). 《Extrapolation Methods. Theory and Practice》 (영어). North-Holland. 
• Van Assche, Walter (2006). “Padé and Hermite–Padé approximation and orthogonality”. 《Surveys in Approximation Theory》 (영어) 2: 61-91. arXiv:math/0609094. Bibcode:2006math......9094V. 

외부 링크

• “Padé approximation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Padé approximant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.