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==수렴(발산)판정법== |
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==수렴(발산)판정법== |
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===발산판정법=== |
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===발산판정법=== |
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급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,</math>이 수렴하면 <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\,</math>이다. 따라서 <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\,</math>이 아닌 급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,</math>는 발산급수이다. |
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급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,</math>이 수렴하면 <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\,</math>이다. 따라서 <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\,</math>이 아닌 급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,</math>는 발산급수이다.(발산판정법) |
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*<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{4n+1}\,</math>은 <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n}{4n+1}=\frac{1}{2}\neq0\,</math>이므로 발산급수이다. |
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*<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{4n+1}\,</math>은 <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n}{4n+1}=\frac{1}{2}\neq0\,</math>이므로 발산급수이다. |
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*급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,</math>이 조건 <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\,</math>을 만족한다해도 수렴급수가 아닐 수도 있다. |
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*급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,</math>이 조건 <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\,</math>을 만족한다해도 수렴급수가 아닐 수도 있다. |
수학에서 급수란 수열을 구성하는 항들을 합으로 나타낸 것을 말한다. 급수의 수렴에 관한 논의에서 급수는 무한급수를 말하며, 주요 문제는 주어진 급수의 수렴여부와 수렴할 경우 그 합에 관한 것이다. 수렴급수라고 해도 그 합이 알려져 있지 않은 경우가 많다.
정의
급수 의 번째 부분합을
이라고 할 때 부분합이 이루는 수열 이 수렴하면 급수 를 수렴급수(convergent series)라고 한다.
즉, 부분합이 이루는 수열 이 어떤 고정된 유한한 수 에 수렴하여
와 같이 쓸 수 있으면 를 수렴급수 또는 급수 이 로 수렴한다고 한다. 이 때 를 급수 의 합(sum)이라고 한다.
이 관계는
와 같이 이해할 수 있다. 수렴급수가 아닌 급수를 발산급수(divergent series)라고 한다.
수렴급수와 발산급수의 예
- 수렴급수
- 발산급수
수렴정리
두 수렴급수 , 의 합을 각각 라고 하면 다음이 성립한다.
- , (상수)
수렴(발산)판정법
발산판정법
급수 이 수렴하면 이다. 따라서 이 아닌 급수 는 발산급수이다.(발산판정법)
- 은 이므로 발산급수이다.
- 급수 이 조건 을 만족한다해도 수렴급수가 아닐 수도 있다.
비교판정법
비판정법
근판정법
적분판정법
교대급수 수렴판정법