25번째 줄:
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==수렴정리==
==수렴정리==
두 수렴급수 <math> \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,</math>, <math> \sum_{j=1}^{\infty}b_j\,</math>의 합을 각각 <math>A,\, B\,</math>라고 하면 다음이 성립한다.
*<math>\sum_{j=1}^{\infty}\alpha a_j= \alpha \sum_{j=1}^{\infty}a_j=\alpha A\,</math>, (<math>\alpha:</math>상수)
*<math>\sum_{j=1}^{\infty}(a_j\pm b_j)= \sum_{j=1}^{\infty}a_j\pm\sum_{j=1}^{\infty}b_j =A\pm B\,</math>
==수렴(발산)판정법==
==수렴(발산)판정법==
2009년 7월 27일 (월) 16:30 판
수렴급수 (收斂級數) 는 수학 에서 급수 란 수열 을 구성하는 항들을 합으로 나타낸 것을 말한다. 급수의 수렴에 관한 논의에서 급수는 무한급수 를 말하며, 주요 문제는 주어진 급수의 수렴여부와 수렴할 경우 그 합에 관한 것이다. 수렴급수라고 해도 그 합이 알려져 있지 않은 경우가 많다.
정의
급수
∑
j
=
1
∞
a
j
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \,}
의
n
{\displaystyle n\,}
번째 부분합 을
S
n
=
∑
j
=
1
n
a
j
{\displaystyle S_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,}
이라고 할 때 부분합이 이루는 수열
{
S
n
}
{\displaystyle \{S_{n}\}\,}
이 수렴 하면 급수
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
를 수렴급수 (convergent series)라고 한다.
즉, 부분합이 이루는 수열
{
S
n
}
{\displaystyle \{S_{n}\}\,}
이 어떤 고정된 유한한 수
S
{\displaystyle S\,}
에 수렴하여
lim
n
→
∞
S
n
=
S
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}=S\,}
와 같이 쓸 수 있으면
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
를 수렴급수 또는 급수
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
이
S
{\displaystyle S\,}
로 수렴한다고 한다. 이 때
S
{\displaystyle S\,}
를 급수
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
의 합 (sum)이라고 한다.
이 관계는
lim
n
→
∞
S
n
=
lim
n
→
∞
(
∑
j
=
1
n
a
j
)
=
∑
j
=
1
∞
a
j
=
S
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right)=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}=S\,}
와 같이 이해할 수 있다. 수렴급수가 아닌 급수를 발산급수 (divergent series)라고 한다.
수렴급수와 발산급수의 예
수렴급수
∑
j
=
1
∞
(
−
1
)
j
+
1
1
j
=
1
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
1
6
+
⋯
=
ln
2.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }(-1)^{j+1}{\frac {1}{j}}={1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots =\ln 2.}
∑
j
=
1
∞
1
2
j
−
1
=
1
1
+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
⋯
=
2.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{j-1}}}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.}
∑
j
=
1
∞
1
j
2
=
1
1
+
1
4
+
1
9
+
1
16
+
1
25
+
1
36
+
⋯
=
π
2
6
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j^{2}}}={1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.}
발산급수
∑
j
=
1
∞
(
−
1
)
j
=
−
1
+
1
−
1
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }(-1)^{j}=-1+1-1+\cdots .}
∑
j
=
1
∞
1
j
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j}}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots .}
∑
j
=
1
∞
2
j
−
1
5
j
=
1
5
+
3
10
+
5
15
⋯
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {2j-1}{5j}}={\frac {1}{5}}+{\frac {3}{10}}+{\frac {5}{15}}\cdots .}
수렴정리
두 수렴급수
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
,
∑
j
=
1
∞
b
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }b_{j}\,}
의 합을 각각
A
,
B
{\displaystyle A,\,B\,}
라고 하면 다음이 성립한다.
∑
j
=
1
∞
α
a
j
=
α
∑
j
=
1
∞
a
j
=
α
A
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }\alpha a_{j}=\alpha \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}=\alpha A\,}
, (
α
:
{\displaystyle \alpha :}
상수)
∑
j
=
1
∞
(
a
j
±
b
j
)
=
∑
j
=
1
∞
a
j
±
∑
j
=
1
∞
b
j
=
A
±
B
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }(a_{j}\pm b_{j})=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\pm \sum _{j=1}^{\infty }b_{j}=A\pm B\,}
수렴(발산)판정법
발산판정법
비교판정법
비판정법
근판정법
적분판정법
교대급수 수렴판정법