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[[확률론]]에서, '''마르코프 부등식'''({{llang|en|Markov’s inequality}})은 음이 아닌 [[확률 변수]]가 어떤 양의 실수 이상일 [[확률]]의 [[상한과 하한|상계]]를 제시하는 [[부등식]]이다. 확률과 [[기댓값]]의 관계를 설명하고, 확률 변수의 [[누적 분포 함수]]에 대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다.
[[확률론]]에서, '''마르코프 부등식'''({{llang|en|Markov’s inequality}})은 음이 아닌 [[확률 변수]]가 어떤 양의 실수 이상일 [[확률]]의 [[상한과 하한|상계]]를(을) 제시하는 [[부등식]]이다. 확률과 [[기댓값]]의 관계를 설명하고, 확률 변수의 [[누적 분포 함수]]에 대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다.
== 정의 ==
== 정의 ==
확률론 에서, 마르코프 부등식 (영어 : Markov’s inequality )은 음이 아닌 확률 변수 가 어떤 양의 실수 이상일 확률 의 상계 를(을) 제시하는 부등식 이다. 확률과 기댓값 의 관계를 설명하고, 확률 변수의 누적 분포 함수 에 대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다.
정의
측도 공간
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
위의 가측 함수
f
:
X
→
(
R
¯
,
B
(
R
¯
)
)
{\displaystyle f\colon X\to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}
가 주어졌다고 하자. 마르코프 부등식 에 따르면, 임의의 양의 실수
a
∈
R
+
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{+}}
에 대하여, 다음이 성립한다.[1] :83, §3.1, Theorem 3.1.1
μ
(
{
x
∈
X
:
|
f
(
x
)
|
≥
a
}
)
≤
1
a
∫
X
|
f
|
d
μ
{\displaystyle \mu (\{x\in X\colon |f(x)|\geq a\})\leq {\frac {1}{a}}\int _{X}|f|\mathrm {d} \mu }
특히, 확률 공간
(
Ω
,
F
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}
위의 확률 변수
X
:
Ω
→
(
R
¯
,
B
(
R
¯
)
)
{\displaystyle X\colon \Omega \to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수
a
∈
R
+
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{+}}
에 대하여, 다음이 성립한다.
Pr
(
|
X
|
≥
a
)
≤
E
(
|
X
|
)
a
{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|)}{a}}}
여기서
E
(
|
X
|
)
{\displaystyle \operatorname {E} (|X|)}
는 기댓값 이다.
∫
X
|
f
|
d
μ
≥
∫
{
x
∈
X
:
|
f
(
x
)
|
≥
a
}
|
f
|
d
μ
≥
∫
{
x
∈
X
:
|
f
(
x
)
|
≥
a
}
a
d
μ
=
a
μ
(
{
x
∈
X
:
|
f
(
x
)
|
≥
a
}
)
{\displaystyle \int _{X}|f|\mathrm {d} \mu \geq \int _{\{x\in X\colon |f(x)|\geq a\}}|f|\mathrm {d} \mu \geq \int _{\{x\in X\colon |f(x)|\geq a\}}a\mathrm {d} \mu =a\mu (\{x\in X\colon |f(x)|\geq a\})}
E
(
|
X
|
)
≥
E
(
|
X
1
{
ω
∈
Ω
:
|
X
(
ω
)
|
≥
a
}
|
)
≥
E
(
a
1
{
ω
∈
Ω
:
|
X
(
ω
)
|
≥
a
}
)
=
a
Pr
(
|
X
|
≥
a
)
{\displaystyle \operatorname {E} (|X|)\geq \operatorname {E} (|X1_{\{\omega \in \Omega \colon |X(\omega )|\geq a\}}|)\geq \operatorname {E} (a1_{\{\omega \in \Omega \colon |X(\omega )|\geq a\}})=a\operatorname {Pr} (|X|\geq a)}
따름정리
크라메르 부등식
확률 공간
(
Ω
,
F
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}
위의 확률 변수
X
:
Ω
→
(
R
¯
,
B
(
R
¯
)
)
{\displaystyle X\colon \Omega \to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}
및 증가 가측 함수
ϕ
:
(
R
+
,
B
(
R
+
)
)
→
(
R
+
,
B
(
R
+
)
)
{\displaystyle \phi \colon (\mathbb {R} ^{+},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{+}))\to (\mathbb {R} ^{+},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{+}))}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수
a
∈
R
+
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{+}}
에 대하여, 다음이 성립한다.[1] :84, §3.1, Corollary 3.1.4
Pr
(
|
X
|
≥
a
)
≤
E
(
|
ϕ
(
X
)
|
)
ϕ
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|\phi (X)|)}{\phi (a)}}}
Pr
(
|
X
|
≥
a
)
=
Pr
(
|
ϕ
(
X
)
|
≥
ϕ
(
a
)
)
≤
E
(
|
ϕ
(
X
)
|
)
ϕ
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)=\operatorname {Pr} (|\phi (X)|\geq \phi (a))\leq {\frac {\operatorname {E} (|\phi (X)|)}{\phi (a)}}}
만약
ϕ
:
x
↦
x
r
{\displaystyle \phi \colon x\mapsto x^{r}}
(
r
∈
R
+
{\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}
)일 경우, 이는 다음과 같다.[1] :83, §3.1, Corollary 3.1.2
Pr
(
|
X
|
≥
a
)
≤
E
(
|
X
|
r
)
a
r
{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})}{a^{r}}}}
만약
ϕ
:
x
↦
exp
(
r
x
)
{\displaystyle \phi \colon x\mapsto \exp(rx)}
(
r
∈
R
+
{\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}
)일 경우, 이는 다음과 같다. 이를 크라메르 부등식 (영어 : Cramer’s inequality )이라고 한다.[1] :84, §3.1, Corollary 3.1.5
Pr
(
|
X
|
≥
a
)
≤
M
X
(
r
)
exp
(
r
a
)
{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X|\geq a)\leq {\frac {M_{X}(r)}{\exp(ra)}}}
여기서
M
X
(
r
)
{\displaystyle M_{X}(r)}
는 모멘트 생성 함수 이다.
체비쇼프 부등식
확률 공간
(
Ω
,
F
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}
위의 적분 가능 확률 변수
X
:
Ω
→
(
R
¯
,
B
(
R
¯
)
)
{\displaystyle X\colon \Omega \to ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수
a
∈
R
+
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{+}}
에 대하여, 다음이 성립한다.
Pr
(
|
X
−
E
(
X
)
|
≥
a
)
≤
Var
(
X
)
a
2
{\displaystyle \operatorname {Pr} (|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}}
여기서
Var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)}
는 분산 이다.
역사
마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 안드레이 마르코프 의 이름에서 따온 것이다. 그러나 이 부등식은 마르코프의 스승인 파프누티 체비쇼프 가 먼저 발견하였다.
참고 문헌
외부 링크