정지 위상 근사
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수학에서 정지 위상 근사(停止位相近似, 영어: stationary phase approximation)는 진동적분을 근사하는 데 사용하는 근사법이다. 이 방법은 진동적분을 위상의 도함수가 0인 곳, 즉 위상이 정지해 있는 곳들만을 고려하여 근사한다.
정의
[편집]유클리드 공간 위에 다음과 같은 꼴의 적분이 있다고 하자.
여기서 와 는 매끄러운 실함수이며, 는 무한대에서 적분이 수렴하도록 충분히 빨리 0으로 간다고 하자. 는 임의의 양의 실수 매개변수이다.
이제, 가 에서 유일한 정류점을 가진다고 하자.
또한, 이 점에서의 헤세 행렬 이 고윳값 0을 갖지 않는다고 하며, 양의 고윳값들이 개, 음의 고윳값들이 개라고 하자. 그렇다면 매우 큰 에 대하여 적분 를 다음과 같이 근사할 수 있다. 이를 정지 위상 근사라고 한다.
만약 여러 개의 고립된 정류점들이 존재한다면, 각 점들에서의 값들을 더하면 된다.
유도
[편집]좌표 변환을 통해, 다변수 정지 위상 근사는 1변수의 경우로부터 유도할 수 있다. 1변수의 경우, 정지 위상 근사는 기본적으로 다음과 같은 꼴이다. 가 매우 크다면, 에 상관없이 다음이 성립한다.
여기서 는 의 부호이다. 이 1변수 적분은 쉽게 유도할 수 있다.
역사
[편집]정지 위상 근사는 19세기에 조지 가브리엘 스토크스와 제1대 켈빈 남작 윌리엄 톰슨이 도입하였다.[1]
각주
[편집]- ↑ Courant, Richard; David Hilbert (1953), 《Methods of mathematical physics》 1 2판, New York: Interscience Publishers, 474쪽, OCLC 505700
외부 링크
[편집]- “Stationary phase, method of the”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.