정지 위상 근사

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수학에서, 정지 위상 근사(停止位相近似, 영어: stationary phase approximation)는 진동적분을 근사하는 데 사용하는 근사법이다. 이 방법은 진동적분을 위상의 도함수가 0인 곳, 즉 위상이 정지해 있는 곳들만을 고려하여 근사한다.

정의[편집]

유클리드 공간 위에 다음과 같은 꼴의 적분이 있다고 하자.

여기서 매끄러운 실함수이며, 는 무한대에서 적분이 수렴하도록 충분히 빨리 0으로 간다고 하자. 는 임의의 양의 실수 매개변수이다.

이제, 에서 유일한 정류점을 가진다고 하자.

또한, 이 점에서의 헤세 행렬 고윳값 0을 갖지 않는다고 하며, 양의 고윳값들이 개, 음의 고윳값들이 개라고 하자. 그렇다면 매우 큰 에 대하여 적분 를 다음과 같이 근사할 수 있다. 이를 정지 위상 근사라고 한다.

만약 여러 개의 고립된 정류점들이 존재한다면, 각 점들에서의 값들을 더하면 된다.

유도[편집]

좌표 변환을 통해, 다변수 정지 위상 근사는 1변수의 경우로부터 유도할 수 있다. 1변수의 경우, 정지 위상 근사는 기본적으로 다음과 같은 꼴이다. 가 매우 크다면, 에 상관없이 다음이 성립한다.

여기서 의 부호이다. 이 1변수 적분은 쉽게 유도할 수 있다.

역사[편집]

정지 위상 근사는 19세기에 조지 가브리엘 스토크스제1대 켈빈 남작 윌리엄 톰슨이 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Courant, Richard; David Hilbert (1953), 《Methods of mathematical physics》 1 2판, New York: Interscience Publishers, 474쪽, OCLC 505700 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]