수학에서, 작용소 K이론(作用素K異論, 영어: operator K-theory)는 C* 대수에 대응되는 K이론이다. 주기 2의 보트 주기성을 가지며, 가환 C* 대수의 경우 겔판트 표현 정리에 의하여 이는 위상 K이론과 일치한다.
(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수
의 원소
가 만약
를 만족시킨다면,
를 사영원(영어: projection element)이라고 한다. 사영원의 집합을
로 표기하자.
원소
에 대하여, 만약
라면,
를 부분 등거리원(영어: partial isometry)이라고 한다. 만약
가 부분 등거리원이라면,
역시 부분 등거리원이다. 부분 등거리원들의 집합을
로 표기하자.
위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle a\sim b\iff \exists c\in \operatorname {PI} (A)\colon a=c^{*}c,\;b=cc^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c0f36d0d4ee2ba0d95f5d303cfb4435871c154)
(항등원을 갖는) C* 대수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
성분의
정사각 행렬들의 C* 대수
를 정의할 수 있다.
행렬에 모든 성분이 0인
번째 행 및 열을 추가하는 사상을
![{\displaystyle \iota _{n}\colon \operatorname {Mat} (n;A)\to \operatorname {Mat} (n+1;A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3ce13dd937292f5eb44f5af5147dd47467bb39)
라고 하면, 이들을 통해 다음과 같은 귀납적 극한을 취할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)=\lim _{n\to \infty }\operatorname {Mat} (n;A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2708cdb3057f42564faf783e6d9e9fb1cb85db6)
이는 그러나 항등원을 갖지 않아 환이 아니다.
위에 이항 연산
![{\displaystyle M\oplus N={\begin{pmatrix}M&0_{m\times n}\\0_{n\times m}&N\end{pmatrix}}\qquad (M\in \operatorname {Mat} (m;A),\;N\in \operatorname {Mat} (n;A))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc6a95548da6c9323f384e7ce517797a2259716)
을 정의하자.
위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.
![{\displaystyle M\sim N\iff \exists P\in \operatorname {Mat} (m,n;A)\colon M=PP^{*},\;N=P^{*}P\qquad (M\in \operatorname {Mat} (m;A),\;N\in \operatorname {Mat} (n;A))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce5308c843e54316895ab7df477dfa28de9eaeea)
그렇다면,
는 가환 모노이드를 이룬다. 이를
로 표기하자.
의 그로텐디크 군을
의 0차 K군이라고 하며,
로 표기한다.
마찬가지로,
계수의 일반 선형군
![{\displaystyle \operatorname {GL} (n;A)=\operatorname {Unit} \left(\operatorname {Mat} (n;A)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7779eb995698a9930e15685f402af4ec1429de71)
및
![{\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;A)=\lim _{n\to \infty }\operatorname {GL} (n;A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4b0b461633da7bdc6a5ea2cea8aad6b78206b8)
를 정의하자. (
는 항등원을 갖지 않아 사실 군이 아니다.) 이 경우,
의
차 K군은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {K} _{i}(A)=\pi _{i-1}(\operatorname {GL} (\infty ;A))\qquad (i\geq 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701c5af87315c2ceaea82f8a594290f8cde85eef)
보트 주기성에 따라
![{\displaystyle \operatorname {K} _{i+2}(A)=\operatorname {K} _{i}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8bedbc80658e85ffc9d0a5d7b762f09990baca)
이다.
1차원 C* 대수
를 생각하자.
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {D} (\mathbb {C} )\cong \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947eedce81d9f73cb5f444e607b1e026888475ec)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{0}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92214511f5a997a16d267dac39b9f06cd90ab27)
구체적으로,
![{\displaystyle n\mapsto [1_{n\times n}]\qquad (n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3724d6c2f22691740077a67344ee1c1b53d05cb6)
이다. 이는 복소수 정사각 행렬
가운데
이라면
![{\displaystyle M=\operatorname {diag} (e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b16f962845abf93d9a281e387b5dfc69fa2abe9)
![{\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{n}\in \{0,1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9184d072db3d91e576e1c635adc173bc55bedef1)
의 꼴이기 때문이다.