원환체의 튜브(빨간원)의 반지름 r와 원환체중심 반지름(파란원) R, 빨간 원을 축을 기준으로 회전시키면 빨간 원의 중심은 파란 원을 그리면서 원환체가 된다.
원환면으로부터 이를 표면으로 하는 입체는 도넛의 모양을 닮게 되는 원환체(圓環體, toroid) 형태이다.
이처럼 원을 축에 의해 회전시킨 원환면을 통해 원환체를 얻을 수 있다.
![{\displaystyle V=2\pi ^{2}r^{2}R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad200b46057ffcaffd614154e528ab265529d123)
![{\displaystyle R-r=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b7b9dd0be433f4cc1a942c1b9d2f59cd8b50c7)
에서
![{\displaystyle r={{1} \over {2}}(b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7512bd374107078ebe8f8d3d0c85b5009e45b1b8)
![{\displaystyle R={{1} \over {2}}(b+a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2831b835c4d0bfd5ba06e2e8d52ef2cada978b6)
![{\displaystyle V=(\pi r^{2})(2\pi R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cefea8dabbee3de046c766de09120f0059a81ed)
![{\displaystyle \;\;\;=2\pi ^{2}r^{2}R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f9d5e521da9141e514a5650e0a64daef90d695)
![{\displaystyle \;\;\;=2\pi ^{2}\left({{1} \over {2}}(b-a)\right)^{2}\left({{1} \over {2}}(b+a)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db2d674f7943512be68609e1efb296790b4f4ac)
![{\displaystyle \;\;\;={{1} \over {4}}\pi ^{2}\left(b-a\right)^{2}\left(b+a\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108c6b652d2cd01b8fa5a84b8c9a159210002310)
도넛 모양의 원환체 부피는 야코비 행렬식
와 함께 삼중적분으로 표현될수있다.
![{\displaystyle J={\begin{bmatrix}{{d(x,y,z)} \over {d(m,n,a^{'})}}\end{bmatrix}}=a^{'}(R+a^{'}cos\;n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd55298f46bdb08d21042e7c8e52ab9352587e43)
![{\displaystyle x=(R+a^{'}\;cos\;n)cos\;m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bf603d80480b9e117a50c752be297182984c93)
![{\displaystyle y=(R+a^{'}\;cos\;n)sin\;m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa55f3a4abaee56a57716818b7b269a0fdbce208)
![{\displaystyle z=a^{'}\;sin\;n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809421dfede99ce42e0958f4deb98cc71f17ccab)
![{\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}a^{'}(R+a^{'}cos\;n)da^{'}dn\;dm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30845db218c871044019339945c8247bcf465d1)
![{\displaystyle \;\;\;=2\pi ^{2}r^{2}R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f9d5e521da9141e514a5650e0a64daef90d695)
![{\displaystyle 1=R=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c56271fbe1bb7748505b9e838e160e4cc83200)
뿔 원환체 ![{\displaystyle R>r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185691d6d238376261dda1cf90392a62e5df832f)
링 원환체 ![{\displaystyle R<r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b07ed06b793f014ad6a6f8379116925aa30fe11)
스핀들 원환체
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회전축까지의 거리가 짧아지면 링 원환체가 뿔 원환체가 되고 이어서 스핀들 원환체가 되며 마지막으로 구로 변한다.
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임의의 x,y,z 입체 좌표상의 사각형을 z축으로 회전시킨 원환체