올적분

대수적 위상수학에서, 올적분(-積分, 영어: fiber integration, integration along fibers)은 미분 형식 및 드람 코호몰로지에 대하여 정의되는, 올다발의 전체 공간 위의 미분 형식 또는 코호몰로지류를 그 밑공간 위의 미분 형식 또는 코호몰로지류에 대응시키는 사상이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $B$ 위의 매끄러운 올다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow B$. 또한, 그 올이 $m$차원 콤팩트 유향 다양체라고 하자.
• 미분 형식 $\alpha \in \Omega ^{k+m}(E)$

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

$\beta _{v_{1},\dotsc ,v_{k}}\in \Omega ^{m}(\pi ^{-1}(\pi (e)))\qquad \forall e\in E,\;v_{1},\dotsc ,v_{k}\in \mathrm {T} _{e}E$

$\beta _{v_{1},\dotsc ,v_{k}}(w_{1},\dotsc ,w_{m})=\alpha (w_{1},\dotsc ,w_{m},v_{1},\dotsc ,v_{k})$

$\pi _{!}\alpha \in \Omega ^{k}(B)$

$(\pi _{!}\alpha )(v_{1},v_{2},\dotsc ,v_{k})=\int _{\pi ^{-1}(b)}\beta _{v_{1},\dotsc ,v_{k}}\qquad \forall e\in E,\;v_{1},\dotsc ,v_{k}\in \mathrm {T} _{e}E$

스토크스 정리에 따라서, 올이 (경계가 없는) 콤팩트 매끄러운 다양체이므로, 이는 드람 코호몰로지의 사상

$\pi _{!}\colon \operatorname {H} ^{\bullet +m}(E;\mathbb {R} )\to \operatorname {H} ^{\bullet }(B;\mathbb {R} )$

을 정의한다. 이를 미분 형식 또는 드람 코호몰로지류의 올적분이라고 한다.

예

함수 공간

$E={\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)$

을 생각하고, $\dim X=n$이라고 하고, $X$가 콤팩트 공간이라고 하자. 그렇다면, 자연스러운 함수

$\operatorname {ev} \colon E\times X\to Y$

가 존재한다. 이 경우, $Y$ 위의 $k$차 미분 형식

$\alpha =\alpha _{i_{1}\dotso i_{k}}\mathrm {d} y^{i_{1}}\wedge \dotso \wedge \mathrm {d} y^{i_{k}}$

가 주어졌다면,

$\operatorname {ev} ^{*}\alpha |_{f,x}=\alpha _{i_{1}\dotso i_{k}}(f(x))(\mathrm {d} f(x)^{i_{1}}+\partial _{\mu _{1}}\phi ^{i_{1}}\mathrm {d} x^{\mu _{1}})\wedge (\mathrm {d} f(x)^{i_{k}}+\partial _{\mu _{k}}\phi ^{i_{k}}\mathrm {d} x^{\mu _{k}})\in \Omega ^{k}(E\times X)$

를 정의할 수 있다. 올적분을 취하여, $E$ 위의 $k-n$차 미분 형식을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\int _{X}\alpha _{i_{1}\dotso i_{k}}(f(x))\partial _{\mu _{1}}\phi ^{i_{1}}\mathrm {d} x^{\mu _{1}}\wedge \dotsb \wedge \partial _{\mu _{n}}\phi ^{i_{n}}\mathrm {d} x^{\mu _{n}}\wedge \mathrm {d} f(x)^{i_{1+n}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} f(x)^{i_{k}}\in \Omega ^{k-\dim X}(E)$

외부 링크

• “Fiber integration”. 《nLab》 (영어). 
• “Transgression”. 《nLab》 (영어).