시간 상수

시간 상수, 시상수, 또는 시정수는 시간이 지남에 따라 진폭이 점근적으로 증가하거나 감소하는 함수의 진폭 증가 또는 감소 비율을 나타내는 수학과 물리학의 상수로, τ로 표시된다.

전기 회로에서의 시정수는 RC 직렬회로에서 직류 전원을 투입했을 때 콘덴서의 충전 전압이 전원 전압의 63.2% 까지 충전되는 시간을 말하고, 어떤 전압으로 충전되어 있었던 콘덴서를 어떤 저항을 통해서 방전시켰을 때 콘덴서의 전압이 최초 전압의 36.8%가 되는 시간을 말한다.

$f(\tau )={\frac {1}{e}}\approx 0.368=\%36.8$

$f(\tau )=1-{\frac {1}{e}}\approx 0.632=\%63.2$

개요

물리학과 공학에서 시간 상수는 대개 그리스어 문자 τ (타우)로 표시하며, 1차 선형 시불변(linear time-invariant; LTI) 시스템의 단계 입력에 대한 반응을 특성화하는 매개변수이다.^[1]^[2]

시간 영역에서, 시간 응답을 탐색하기 위한 통상적인 선택은 단계 입력에 대한 단계 응답 또는 디랙 델타 함수 입력에 대한 임펄스 응답을 살펴보는 것이다.^[3]

주파수 영역에서는 (예를 들어 스텝 응답의 푸리에 변환을 보거나 시간의 단순한 정현파 함수인 입력을 사용하여) 시간 상수는 1차 시간 불변 시스템의 대역폭을 결정한다.

시상수는 1 차 LTI 시스템으로 모델링되거나 근사화 될 수있는 다양한 신호 처리 시스템(자기 테이프, 라디오 송신기 및 수신기, 기록 편집 및 재생 장비 및 디지털 필터)의 주파수 응답을 특성화하는 데에도 사용된다. 다른 예로는 공압식인 미적분 동작 컨트롤러의 제어 시스템에 사용되는 시간 상수가 있다.

또한, 시상수는 열 시스템에 대한 일괄 시스템 분석(일괄 처리 용량 분석법)의 하나의 요소이다. 대류식 냉각 또는 가열을 통해 대상을 일정하게 냉각하거나 가열할 때 사용된다.^[4]

물리적으로 시간 상수는 시스템이 초기 비율로 계속 감쇠했다면 시스템 응답이 0으로 감쇠할 때까지 걸리는 시간을 나타낸다. 감쇠 속도의 점진적 변화로 인해 실제로는, 그 시간동안, 응답값이 $1/e\approx 36.8\,\%$ 으로 감소한다. 증가하는 시스템에서, 시간 상수는 시스템의 단계 응답이 최종 점근적 값의 $1-1/e\approx 63.2\,\%$ 에 도달하는 시간이다.(증가 단계) 방사성 붕괴에서 시간 상수는 붕괴 상수(λ)로서, 붕괴하는 계(원자와 같은)의 평균 수명이라고 하거나 원자 36.8%만 남기고 모두 붕괴할 때까지 걸리는 시간이라고 표현한다. 이러한 이유로, 시간 상수는 원자의 50%만이 붕괴하는 시간인 반감기보다 길다.

시간 상수 예

RL 회로의 시정 수 τ(단위는 초)는 다음과 같다.

τ = L/R

여기서, R은 저항(단위는 옴), L은 인덕턴스(단위는 헨리)이다. 마찬가지로 RC 회로의 시정수 τ는 다음과 같다 .

τ = RC

여기서, C는 커패시턴스(단위는 패럿)이다.

같이 보기

각주

↑ Béla G. Lipták (2003). 《Instrument Engineers' Handbook: Process control and optimization》 4판. CRC Press. 100쪽. ISBN 0-8493-1081-4.
↑ Concretely, a first-order LTI system is a system that can be modeled by a single 상미분방정식 in time. Examples include the simplest single-stage electrical RC circuits and RL circuit.
↑ Bong Wie (1998). 《Space vehicle dynamics and control》. American Institute of Aeronautics and Astronautics. 100쪽. ISBN 1-56347-261-9.
↑ GR North (1988). 〈Lessons from energy balance models〉. Michael E. Schlesinger. 《Physically-based Modelling and Simulation of Climate and Climatic Change》 NATO Advanc Study Initute on Physical-Bas Modelling판. Springer. NATO. 627쪽. ISBN 90-277-2789-9.

[Lipták-1] Béla G. Lipták (2003). 《Instrument Engineers' Handbook: Process control and optimization》 4판. CRC Press. 100쪽. ISBN 0-8493-1081-4.

[2] Concretely, a first-order LTI system is a system that can be modeled by a single 상미분방정식 in time. Examples include the simplest single-stage electrical RC circuits and RL circuit.

[Wie-3] Bong Wie (1998). 《Space vehicle dynamics and control》. American Institute of Aeronautics and Astronautics. 100쪽. ISBN 1-56347-261-9.

[NATO-4] GR North (1988). 〈Lessons from energy balance models〉. Michael E. Schlesinger. 《Physically-based Modelling and Simulation of Climate and Climatic Change》 NATO Advanc Study Initute on Physical-Bas Modelling판. Springer. NATO. 627쪽. ISBN 90-277-2789-9.

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