복소해석학에서 슈바르츠 보조정리(-補助定理, 영어: Schwarz lemma)는 푸앵카레 원판 위의 정칙 함수의 성질을 다루는 보조정리이다.
열린 단위 원판
위의 정칙 함수
가
을 만족시킨다고 하자. 슈바르츠 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.[1]
- 임의의
에 대하여,
이다.
![{\displaystyle |f'(0)|\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfadfa666b21a6679331e9c8062f50715ffc2495)
- 다음 두 조건이 서로 동치이다.
인
가 존재하거나,
이다.
- 임의의
에 대하여
이다. 여기서
는
인 상수이다. (즉,
는
위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수이다.)
이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 원점과의 거리를 증가시키지 않는다.
함수
를 다음과 같이 정의하자.[1]
![{\displaystyle g(z)={\begin{cases}f(z)/z&z\neq 0\\f'(0)&z=0\end{cases}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def872629baa10d67ac27a51938902a8244ca493)
그렇다면,
는 정칙 함수이다. 최대 절댓값 원리에 의하여, 임의의
및
에 대하여,
![{\displaystyle |g(z)|\leq \sup _{|w|=r}|g(w)|\leq {\frac {1}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68c9fc90d20600a699f923531436988004b1b24)
이며, 따라서
![{\displaystyle |g(z)|\leq \lim _{r\to 1^{-}}{\frac {1}{r}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37019aeb30232eb6d7920139b5d2c5782a829f8c)
이다. 즉,
일 경우
이며 (0에서도 자명하게 성립한다), 또한
이다.
만약
인
가 존재하거나,
이라면,
는
에서 최댓값 1을 가지므로, 상수 함수이다. 즉, 임의의
에 대하여
인
가 존재하며,
이다. 즉, 임의의
에 대하여,
이다.
만약 임의의
에 대하여
이며,
가
인 상수라면, 자명하게 임의의
에 대하여
이며, 또한
이다.
열린 단위 원판
위의 쌍정칙 함수
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
는 뫼비우스 변환이며, 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle f(z)=a{\frac {z-z_{0}}{1-{\overline {z_{0}}}z}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4003712e7f26a972cc5085f1bee2c25064e61266)
여기서
는
이며
인 상수이다.
단위 원판 위의 쌍정칙 함수의 분류의 증명
[편집]
이는 슈바르츠 보조정리로부터 간단히 증명된다. 함수
를 다음과 같이 정의하자.
![{\displaystyle \varphi _{f(0)}(z)={\frac {z-f(0)}{1-{\overline {f(0)}}z}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b145cf3a0f7ad00266d4c797c910773219e1bf3)
이는
위의 쌍정칙 함수이며,
이다. 따라서,
![{\displaystyle g=\varphi _{f(0)}\circ f\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54731a01010ef243a6aa320d631919495f3c8f73)
는
위의 쌍정칙 함수이며,
이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여,
![{\displaystyle 1\leq {\frac {1}{|(g^{-1})'(0)|}}=|g'(0)|\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7af2ef965eb64b270c78a35e082a25fcdf1f1ed)
이므로,
이다. 따라서, 임의의
에 대하여
인
가 존재하며,
이다. 즉,
에 대하여,
![{\displaystyle f(z)=\varphi _{f(0)}^{-1}(g(z))=a{\frac {z+f(0)a^{-1}}{1+{\overline {f(0)}}az}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7c8d80dc9828396bb20120dd0e1aec73f6239d)
이다. 즉,
를 취하면 된다.
열린 단위 원판
위의 정칙 함수
가 주어졌다고 하자. 슈바르츠-픽 보조정리(-補助定理, 영어: Schwarz-Pick lemma)에 따르면, 다음이 성립한다.
- 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle \left|{\frac {f(z)-f(w)}{1-{\overline {f(z)}}f(w)}}\right|\leq \left|{\frac {z-w}{1-{\bar {z}}w}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0087ff94fdeecb661d8bbf6431d733e904223be7)
- 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle |f'(z)|\leq {\frac {1-|f(z)|^{2}}{1-|z|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6019a20a335c96554263b956bd43af623f508e91)
- 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는
이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는
이 존재한다.
- 임의의
에 대하여
이다. 여기서
는
이고
인 상수이다. (즉,
는
위의 쌍정칙 함수이다.)
이에 따라, 열린 단위 원판 위의 정칙 함수는 두 점 사이의 쌍곡 거리
![{\displaystyle d(z,w)=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z-w}{1-{\bar {z}}w}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a019fa85e4bb001327e10ede76b6364c4114f3)
를 증가시키지 않는다.
임의의
를 취하고, 다음과 같은 함수
을 정의하자.
![{\displaystyle \varphi _{w}(z)={\frac {z-w}{1-{\bar {w}}z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b49a4703247b6905d6a7c7ea4c2fc0d56a089b3)
![{\displaystyle \varphi _{f(w)}(z)={\frac {z-f(w)}{1-{\overline {f(w)}}z}}\qquad \forall z\in \operatorname {B} (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779afd0ed172b8451964e65623c342c5596c71ad)
이들은
위의 쌍정칙 함수이며,
이므로,
![{\displaystyle g=\varphi _{f(w)}\circ f\circ \varphi _{w}^{-1}\colon \operatorname {B} (0,1)\to \operatorname {B} (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32ddc0f1a6d6652c35338c565591e472a51adf3)
는 정칙 함수이며,
이다. 슈바르츠 보조정리에 의하여, 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle |g(\varphi _{w}(z))|\leq |\varphi _{w}(z)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc876d0ab266576ad3d5c712a3e8899a07a48a6e)
![{\displaystyle |g'(0)|\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea1c181c45e8408a168199be2cdfb7dc68aeea9)
이다. 이는 각각 첫 번째 및 두 번째 부등식과 같다. 첫 번째 부등식에서 등식이 성립하는
이 존재하거나, 두 번째 부등식에서 등식이 성립하는
이 존재하는 것은
![{\displaystyle g=\varphi _{f(w)}\circ f\circ \varphi _{w}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c689fafcb76917a686e3d83d1b5a234cc5d9e4)
가
위의 (원점을 보존하는) 쌍정칙 함수인 것과 동치이며, 이는
가 쌍정칙 함수인 것과 동치이다.
독일의 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠의 이름을 땄다.
- ↑ 가 나 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 275-276쪽.