소 매듭

매듭 이론에서 소 매듭(素-, 영어: prime knot)은 자명한 매듭이 아니며, 다른 매듭의 연결합으로 나타내어질 수 없는 매듭이다.

정의

매듭의 연결합

다음이 주어졌다고 하자.

• 두 유향 매듭 $K,K'\colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{3}$

그렇다면, 다음과 같은 연산을 생각할 수 있다.

• 두 매듭의 그림을 임의로 고른다.

• 이 두 매듭의 그림에서, 서로 반대 방향을 향하는 두 변들을 고른다.

• 이 두 변들을 잇는다.

이 연산에 따라, 유향 매듭들은 가환 모노이드를 이룬다. (그러나 이 연산은 매듭의 방향에 의존한다.) 이 연산을 매듭의 연결합이라고 하고, $\#$로 표기하자. 이 연산은 다음을 만족시킨다.

${\overline {K\#K'}}\cong {\bar {K}}\#{\bar {K}}'$

여기서 ${\bar {K}}$는 유항 매듭 $K$에서, 반대 방향을 부여한 유향 매듭이다. 그러나 일반적으로

$K\#K'\not \cong K\#{\bar {K}}'$

이다. (예를 들어, 두 세잎매듭의 연결합은 방향에 따라 두 가지가 있다.)

소 매듭

두 유향 매듭의 $K$, $K'$의 매듭 연결합이 자명한 매듭일 필요 충분 조건은 $K$와 $K'$ 둘 다 자명한 매듭인 것이다. 또한, 자명한 매듭은 매듭 연결합의 항등원이다.

이제, 유향 매듭 $K$이 다음 조건을 만족시킨다면, 유향 소 매듭이라고 한다.

• $K\cong K'\#K''$일 때, $K'$와 $K''$ 가운데 하나가 자명한 매듭이며, 다른 하나는 자명한 매듭이 아니다.

유향 매듭 $K$가 유향 소 매듭일 필요 충분 조건은 ${\bar {K}}$가 유향 소 매듭인 것이다. 즉, 이 조건은 매듭의 방향에 의존하지 않는다. 이에 따라, 임의로 방향을 부여하였을 때 유향 소 매듭이 되는 매듭을 소 매듭이라고 한다. (특히, 자명한 매듭은 소 매듭이 아니다.)

성질

모든 유향 매듭은 유한 개의 유향 소 매듭들의 연결합으로 유일하게 표현된다. (이 정리가 성립하려면, 자명한 매듭이 소 매듭이 될 수 없다.)

각 교차수에 따라, 소 매듭의 수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A2863)

교차수	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
소 매듭의 수	0	0	1	1	2	3	7	21	49	165	552	2176	9988	46972	253293	1388705

목록

교차수가 7 이하인 소 매듭들의 목록은 다음과 같다.

이름	그림	알렉산더-브리그스 표기법	시슬스웨이트 표기법	다우커 표기법	콘웨이 표기법
세잎매듭		31	3a1	4 6 2	[3]
8자 매듭		41	4a1	4 6 8 2	[22]
다섯잎매듭		51	5a2	6 8 10 2 4	[5]
3겹 뒤튼 매듭		52	5a1	4 8 10 2 6	[32]
하역 매듭		61	6a3	4 8 12 10 2 6	[42]
밀러 연구소 매듭		62	6a2	4 8 10 12 2 6	[312]
		63	6a1	4 8 10 2 12 6	[2112]
일곱잎매듭		71	7a7	8 10 12 14 2 4 6	[7]
5겹 뒤튼 매듭		72	7a4	4 10 14 12 2 8 6	[52]
		73	7a5	6 10 12 14 2 4 8	[43]
		74	7a6	6 10 12 14 4 2 8	[313]
		75	7a3	4 10 12 14 2 8 6	[322]
		76	7a2	4 8 12 2 14 6 10	[2212]
		77	7a1	4 8 10 12 2 14 6	[21112]

여기서, 사용된 표기법은 다음과 같다.

• 알렉산더-브리그스 표기법(영어: Alexander–Briggs notation): 제임스 워델 알렉산더와 갈런드 버드 브리그스(영어: Garland Baird Briggs)의 1927년 논문에서 최초로 사용되었으며, 이후 데일 롤프슨(영어: Dale Rolfsen)이 그 목록을 확장하였다. 이 표기법에서, $n_{m}$은 교차수 $n$을 갖는 소 매듭을 뜻하며, $m$은 같은 교차수 속에서 임의로 순서를 매긴 것이다.
• 시슬스웨이트 표기법(영어: Thistlethwaite notation): 모원 시슬스웨이트(영어: Morwen B. Thistlethwaite)가 도입하였다.
• 다우커 표기법(영어: Dowker notation): 클리퍼드 휴 다우커(영어: Clifford Hugh Dowker)가 도입하였다.
• 콘웨이 표기법(영어: Conway notation): 존 호턴 콘웨이가 도입하였다.

역사

일부 소 매듭의 어원은 다음과 같다.

• 세잎매듭(영어: trefoil knot) · 다섯잎매듭(영어: cinquefoil knot) · 일곱잎매듭(영어: septfoil knot): 매듭의 모양을 세잎 토끼풀 및 (가상의) 다섯잎· 일곱잎 토끼풀에 빗댄 것이다.
• 8자 매듭(영어: figure-eight knot) 매듭의 중앙에 아라비아 숫자 8과 비슷한 모양이 있다.
• 3겹 뒤튼 매듭(영어: three-twist knot) · 5겹 뒤튼 매듭(영어: five-twist knot): 맨 위에 3번 · 5번 뒤튼 모양이 있다. (1겹 뒤튼 매듭은 세잎매듭과 같으며, 2겹 뒤튼 매듭은 8자 매듭과 같으며, 4겹 뒤튼 매듭은 하역 매듭과 같다.)
• 하역 매듭(荷役-, 영어: stevedore’s knot): 부두에서 짐을 싣거나 내릴 때 이 매듭을 사용했다고 한다. 영어: stevedore 스티브도어^[*]는 항만(港灣) 노동자를 뜻한다.
• 밀러 연구소 매듭(영어: Miller Institute knot): 미국 캘리포니아 대학교 버클리 밀러 기초 과학 연구소(영어: The Miller Institute for Basic Research in Science)의 로고에 이 매듭이 등장한다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Prime knot”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “The Rolfsen knot table”. 《The Knot Atlas》 (영어).