유리화(Rationalization)는 무리수가 있는 분수에서, 분모 부분을 유리수로 바꾸는 과정을 지칭한다. 단, 분모가
,
, 또는 제곱근 기호가 없이 그냥 무리수인 수는(예를 들어,
.)유리화가 불가하다.
단항식 근호의 유리화[편집]
중등 교과에 나오는 기법으로서, 분모에 단항식의 근호가 있을 경우 동일한 값을 분모와 분자에 모두 곱한다. 이러한 과정을 통하여도 분수 자체의 값에는 변화가 없다. 예를 들어 다음과 같은 분수가 있다고 하자.
![{\displaystyle {\frac {10}{\sqrt {5}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23db73f84e55dc0d50e1e1991aef62f0abd25b69)
이 경우 분모와 분자에 모두
를 곱한다. 그리하여,
![{\displaystyle {\frac {10}{\sqrt {5}}}={\frac {10}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {10{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318d7e515b30739471401e5500816299b5cd4a74)
위와 같이 계산된다. 제곱근을 제곱했으므로 근호가 사라지고 다음과 같이 간단하게 값이 바뀐다.
![{\displaystyle {\frac {10{\sqrt {5}}}{5}}=2{\sqrt {5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83eeeeeccd7b1d7fd0a6739ae5cf3b338a6417e)
이 방법보다 더 쉬운 방법은
이므로
.
또,
인 경우를 제외하고는 모두
이고,
인 경우를 제외하면 모두
이므로, 다음과 같다.
.
모두 양수이므로,
.
다항식 근호의 유리화[편집]
두 개의 항이 있는 경우[편집]
인수분해 공식
를 이용하면 두 개의 제곱근을 포함한 분모를 유리화 할 수 있다. 즉, 분모와 분자에 그 켤레(conjugate)를 곱하여 분모를 유리수로 만들 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 수가 있다고 하자.
![{\displaystyle {\frac {3}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66458ac7403518c06e869405bc93737d9c2f7ec)
이 경우 분모와 분자에 모두
를 곱하여 해결한다. 그러므로
![{\displaystyle {\frac {3}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{{\sqrt {3}}^{2}-{\sqrt {5}}^{2}}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{3-5}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{-2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585d8b446f475228d113979bfafa8eb50f2611ba)
세 개 이상의 항이 있는 경우[편집]
이 경우 두 개의 항을 하나의 항으로 보고 묶어서 계산할 수 있다. 다음의 예가 있다.
![{\displaystyle {\frac {1}{1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d44569da2767da80d5e716d32c3ce15b35bc5b)
이 경우
를 하나의 항으로 보고 계산한다. 즉,
![{\displaystyle {\frac {1}{1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}}}={\frac {1}{(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {(1+{\sqrt {2}})-{\sqrt {5}}}{(1+{\sqrt {2}})-{\sqrt {5}}}}={\frac {1+{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}}{(1+{\sqrt {2}})^{2}-{\sqrt {5}}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf9b3fe99eeb758c0dada7418364eddb37cd6af)
![{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {2}}-5}}={\frac {1+{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}}{-2+2{\sqrt {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535cb51ae4495ee1945501d67d5cd9f098c69c2a)
가 되므로 이 이후로는 이제 두 개의 항이 있는 경우와 동일하게 계산하면 된다.
또,
를 하나의 항으로 보고 계산할 수도 있다.
![{\displaystyle {\frac {1}{1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d44569da2767da80d5e716d32c3ce15b35bc5b)
![{\displaystyle ={\frac {1}{1+({\sqrt {2}}+{\sqrt {5}})}}\times {\frac {1-({\sqrt {2}}+{\sqrt {5}})}{1-({\sqrt {2}}+{\sqrt {5}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f528047d419868052c521a83463d1f996108db)
![{\displaystyle ={\frac {1-{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}}{(1)^{2}-({\sqrt {2}}-{\sqrt {5}})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ce28475a0bc7c6d3712baa17eb141fdecf9107)
![{\displaystyle ={\frac {1-{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}}{1-(2-2{\sqrt {10}}+5)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5944860015a34c8ff2b9a14e1d3366002eec5f)
![{\displaystyle ={\frac {1-{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}}{1-(7-2{\sqrt {10}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b070503b6b646706ac274cceea66acffad0b93a8)
![{\displaystyle ={\frac {1-{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}}{1-7+2{\sqrt {10}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768cb681e34bc2ef25e112002dc56a7e6a1f323a)
.
삼중근을 포함하는 경우[편집]
분모에 삼중근을 포함하는 경우
등 과 같은 다양한 인수분해 공식을 활용하여 공격할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 값이 주어져 있다고 하자.
![{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{2}}-{\sqrt[{3}]{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6993794e3b7c5ef8303991e01c2a505c4a0e4967)
이 경우, 인수분해 공식을 활용하여 다음과 같이 계산한다.
![{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{2}}-{\sqrt[{3}]{3}}}}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{2}}-{\sqrt[{3}]{3}}}}\cdot {\frac {{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{3}]{6}}+{\sqrt[{3}]{9}}}{{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{3}]{6}}+{\sqrt[{3}]{9}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{3}]{6}}+{\sqrt[{3}]{9}}}{2-3}}=-{\sqrt[{3}]{4}}-{\sqrt[{3}]{6}}-{\sqrt[{3}]{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab85ee64a33dd25e1175b52fcbde52c1ccf9efdb)
위와 같이 계산된다.