분모의 유리화

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유리화(Rationalization)는 무리수가 있는 분수에서, 분모 부분을 유리수로 바꾸는 과정을 말한다. 다양한 기교와 테크닉이 있고 이러한 과정을 통해 분수의 통분이나 값의 파악을 쉽게 만든다.

단항식 근호의 유리화[편집]

중등 교과에 나오는 기법으로서, 분모에 단항식의 근호가 있을 경우 동일한 값을 분모와 분자에 모두 곱한다. 이러한 과정을 통하여도 분수 자체의 값에는 변화가 없다. 예를 들어 다음과 같은 분수가 있다고 하자.

\frac{10}{\sqrt{5}}

이 경우 분모와 분자에 모두 \sqrt{5}를 곱한다. 그리하여,

\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{{10\sqrt{5}}}{\sqrt{5}^2}

위와 같이 계산된다. 제곱근을 제곱했으므로 근호가 사라지고 다음과 같이 간단하게 값이 바뀐다.

\frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}

다항식 근호의 유리화[편집]

두 개의 항이 있는 경우[편집]

인수분해 공식 (a + b)(a - b) = a^2 - b^2를 이용하면 두 개의 제곱근을 포함한 분모를 유리화 할 수 있다. 즉, 분모와 분자에 그 켤레(conjugate)를 곱하여 분모를 유리수로 만들 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 수가 있다고 하자.

\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}

이 경우 분모와 분자에 모두 {\sqrt{3}-\sqrt{5}}를 곱하여 해결한다. 그러므로

\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\sqrt{3}^2 - \sqrt{5}^2}= \frac{ 3 (\sqrt{3} - \sqrt{5} ) }{ 3 - 5 } = \frac{ 3( \sqrt{3}-\sqrt{5} )}{-2}

세 개 이상의 항이 있는 경우[편집]

이 경우 두 개의 항을 하나의 항으로 보고 묶어서 계산할 수 있다. 다음의 예가 있다.

\frac{1}{1+\sqrt{2} + \sqrt{5}}

이 경우 1+\sqrt{2}를 하나의 항으로 보고 계산한다. 즉,

\frac{1}{1+\sqrt{2} + \sqrt{5}} = \frac{1}{(1+\sqrt{2}) + \sqrt{5}} \cdot \frac{(1+\sqrt{2}) - \sqrt{5}}{(1+\sqrt{2}) - \sqrt{5}} = \frac{1+\sqrt{2} - \sqrt{5}}{(1+\sqrt{2})^2 - \sqrt{5}^2}
\frac{1+\sqrt{2} - \sqrt{5}}{3+2\sqrt{2} - 5} = \frac{1+\sqrt{2} - \sqrt{5}}{-2+2\sqrt{2}}

가 되므로 이 이후로는 이제 두 개의 항이 있는 경우와 동일하게 계산하면 된다.

삼중근을 포함하는 경우[편집]

분모에 삼중근을 포함하는 경우 (a^2 + ab + b^2)(a - b) = a^3 - b^3등 과 같은 다양한 인수분해 공식을 활용하여 공격할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 값이 주어져 있다고 하자.

\frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{3}}

이 경우, 인수분해 공식을 활용하여 다음과 같이 계산한다.

\frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{2 - 3}

위와 같이 계산되게 된다.