수학에서 분리 합집합(分離合集合, 영어: disjoint union) 또는 서로소 합집합(-素合集合)은 원소들에게 그들이 속하던 집합에 대한 첨수를 추가하도록 변형된 합집합이다. 서로소인 집합들의 경우, 분리 합집합은 원래의 합집합과 동등하다.
두 집합
와
의 분리 합집합
은 다음과 같은, 두 곱집합의 합집합이다.
![{\displaystyle A\sqcup B=(A\times \{0\})\cup (B\times \{1\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/762ec618bb510c51b7b92061e29d77cd6de426d4)
보다 일반적으로, 집합들의 집합
의 원소들의 분리 합집합
은 다음과 같은 집합이다.
![{\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}{(A_{i}\times \{i\})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61493da6a5122e7e00d2b3e09050713765d750ca)
분리합집합의 원소
속의
는,
가 어디에 속하던 원소인지 알려준다. 이에 따라,
가 서로소 집합족이거나 아니거나,
는 서로소 집합족이다.
임의의
는 자연스럽게
로 매장된다.
![{\displaystyle \iota \colon A_{i}\hookrightarrow \bigsqcup _{i\in I}A_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e0cfe9fc1bd67704390d53e80a2053a1ed050e)
![{\displaystyle \iota \colon a\mapsto (a,i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166c3c279a63ee5776488223da75b7dc7a47c47b)
집합들의 분리 합집합의 크기는, 그 집합들의 크기의 합이다. 즉,
![{\displaystyle \left|\bigsqcup _{i\in I}A_{i}\right|=\sum _{i\in I}|A_{i}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c6972a54183a9e69f7f39922a7eb25bdd62ae7)
두 집합
![{\displaystyle A=\{a,b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469abae5074de5867f770aec58e32e30cad048d5)
![{\displaystyle B=\{b,c,d\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853953720808b656dc3130903d06486011d7f4bc)
의 분리 합집합은
![{\displaystyle A\sqcup B=\{(a,0),(b,0),(b,1),(c,1),(d,1)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e55d519bc640180b01b9d4b99310a2bba9981bfb)
이며, 그 크기는 5이다.