대수학에서 부분분수분해(Partial fraction decomposition) 또는 부분분수전개(partial fraction expansion)는 유리식의 분자나 분모의 차수를 낮추는 데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수 계수의 다항식들은 유클리드 정역이므로 유클리드 호제법을 이용할 수 있다.
부분분수로 변형하는 계산은 다양한 계산에서 등장한다. 기교를 잘 익혀두면 쓸모가 많다.
가분수를 대분수로 변형[편집]
분자의 차수가 분모보다 높을 경우 초등학교의 가분수를 대분수로 바꾸는 계산과정과 동일한 방법을 통해 분자의 차수를 낮출 수 있다. 즉, 다음과 같은 분수
![{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03690d6a1fc39c60081efc65a4efb0afdffb7fcf)
가 주어졌는데, 분자의 차수가 분모의 차수보다 높아서
와 같이 나눗셈으로 표현가능하다면, 이 분수는 다음과 같이 바꿀 수 있다.
![{\displaystyle Q(x)+{\frac {R(x)}{g(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc16e9386fe785927b8f0977e627afba18d7576)
다항식의 나눗셈에 의해 당연히
는
보다 차수가 낮다.
분자의 차수가 낮은 경우[편집]
분자의 차수가 낮다고 하더라도, 여러 가지 방법으로 부분분수로 분해가능하다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있다. 즉,
다음과 같이 분해된다.
![{\displaystyle {\frac {f(x)}{(a_{1}x+b_{1})(a_{2}x+b_{2})\cdots (a_{n}x+b_{n})}}={\frac {A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}}+{\frac {A_{2}}{a_{2}x+b_{2}}}+\cdots +{\frac {A_{n}}{a_{n}x+b_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943520433cc00e223f62264855ec2f3e8d02b97a)
여기서
는 모두 항등식의 미정계수로서 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 다음과 같은 예를 보자.
![{\displaystyle {\frac {x+3}{x^{2}-3x-40}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6251009ad32562e7e0ee4527eb4e79cf02a4311f)
위와 같이 주어진 유리식을 관찰해보면 분모가
로 일차식의 곱의 형태로 인수분해됨을 알 수 있다. 그리하여 다음과 같이 전개가능하다.
![{\displaystyle {x+3 \over x^{2}-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c681818e90d016cde4fd9d84b9958caa08d853)
여기서
는 정해지지 않은 계수, 즉 미정계수인데, 이는 항등식의 미정계수법을 통해 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하거나(계수비교법), 적당한 상수를 대입하여 그 수치값을 비교하는(수치대입법) 방법 등을 동원하면 된다. 그리하여
임을 확인할 수 있다.
유용한 공식[편집]
고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있다.
![{\displaystyle {\frac {1}{A\cdot B}}={\frac {1}{B-A}}\left({\frac {1}{A}}-{\frac {1}{B}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5606cbb9727164548e8e95edf184ab1b3add66)
좌변의 분수가 우변의 부분분수로 분해된다.
가 단순할 때 유용하다. 예를 들어 다음과 같이 분해된다.
![{\displaystyle {\frac {1}{(x+1)(x+2)}}={\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x+2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53327223addc265c7fa52c6298479b9ab3e05711)
![{\displaystyle {1 \over (x+1)(x+2)}={a \over x+1}-{b \over x+2}={a(x+2) \over (x+1)(x+2)}-{b(x+1) \over (x+2)(x+1)}={a(x+2)-{b(x+1)} \over (x+1)(x+2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d131e347519cf60e7f12bea6b94dbe95c20e394)
![{\displaystyle \therefore {1 \over {\cancel {(x+1)(x+2)}}}={a(x+2)-{b(x+1)} \over {\cancel {(x+1)(x+2)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68dd08e8dc652b568b845987235ccbf865c0b452)
![{\displaystyle \therefore {1}={a(x+2)-b(x+1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b375486e3d5f42058a92d29d4ab5cc20cae8cc97)
![{\displaystyle {1}=ax+2a-bx-b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd16a5889cdd80effe7f956ffa5a24fdd40716ab)
![{\displaystyle {1}=(a-b)x+(2a-b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567ef7909cd761f4bc23cc8ecea26610c380cc51)
- 우변의
차항에대한 좌변의
차항은 없으므로
차항의 계수는
, 상수항은
이다.
빼면,
![{\displaystyle (a-b)-(2a-b)=0-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14f65306e78037493d12368397a138ad43817ea)
![{\displaystyle a-b-2a+b=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c750a2a18e54b6054266f40cb3390e8a59d820)
![{\displaystyle -a=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d9aad713ee3e32e6f4bddc07953ae1b3dad0ff)
![{\displaystyle a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6104442ed30596ef4d7795d3186273f68d796ea4)
이번에는
을 더하면,
![{\displaystyle (a-b)+(2a-b)=0+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4baa79e84de6ae82f63aa6c937ddde44a0b21db)
![{\displaystyle a-b+2a-b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8381258367e3d327cfe069caea3ae970ad6dd4)
![{\displaystyle 3a-2b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78136280ec5a849952d4fa4a3ff07c4a87d333dd)
에
를 대입하면,
![{\displaystyle 3-2b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc168b6de33fc11425c445bc15bca8588e84198d)
![{\displaystyle -2b=1-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9b3c44eccb5dac6957306aa3c60a3e360bd2ed)
![{\displaystyle -2b=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1572e4567f4fd2cf916acd1ecfd192b9ec56520)
![{\displaystyle {2b \over 2}={2 \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3b8a3c470b4e926fabe234f3a973a0ac7d12ce)
![{\displaystyle b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f55bc77dec8088791b5c1ed51e634cc1b431fd0)
![{\displaystyle \therefore {1 \over (x+1)(x+2)}={1 \over x+1}-{1 \over x+2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d94714d6564d270531a304ce057844d772dcdb)
비슷하게, 다음과 같은 공식을 활용할 수 있다.
![{\displaystyle {\frac {1}{A\cdot B\cdot C}}={\frac {1}{C-A}}\left({\frac {1}{A\cdot B}}-{\frac {1}{B\cdot C}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda439870f9e5d1307869cefb2209ed48160cc28)
분모의 인수분해 되지 않는 다항식[편집]
분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해된다.
![{\displaystyle {\frac {ax^{2}+bx+c}{(dx+e)(fx^{2}+gx+h)}}={\frac {A_{1}}{dx+e}}+{\frac {A_{2}x+A_{3}}{fx^{2}+gx+h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1985e8eebf0d1b6c854240e8024127be95d5eb)
예를 들어 다음과 같다.
![{\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f6c8f252e5be55753a43f72844606b814b9b8f)
이 경우 인수분해 공식에 의해 분모가
와 같이 분해됨을 즉시 파악할 수 있다. 그리하여,
![{\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={10x^{2}+12x+20 \over (x-2)(x^{2}+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^{2}+2x+4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e09677ae169aa15d0b7404e977a6ee3e49c6c3cb)
위와 같이 변형된다. 여기서
도 마찬가지로 미정계수이며, 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 계산해보면 차례로 7,3,4가 나오므로,
![{\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^{2}+2x+4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96848683a4c0932293011a486e2136e3caa5ba37)
위와 같은 등식이 성립하게 된다.
분모의 거듭제곱된 항의 포함[편집]
분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 계산된다. 예를 들어,
![{\displaystyle {p(x) \over (x+2)(x+3)^{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4fa1d92e9cf635a3de58ed0ec967eb5d0b6259)
와 같은 식일 경우 다음과 같은 방법으로 부분분수를 설정해야 한다.
![{\displaystyle {A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^{2}}+{D \over (x+3)^{3}}+{E \over (x+3)^{4}}+{F \over (x+3)^{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05391285fbb6816ac2e72fe9b0387d4fb9aaed05)
이를 응용하여 다음과 같이 거듭제곱된 이차항을 포함한다고 하자.
![{\displaystyle {p(x) \over (x+2)(x^{2}+1)^{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d292ff8604c6f4f94906d8032529db2516f445dc)
그러면 미정계수를 포함하는 분자는 모두 일차식이 된다.
![{\displaystyle {A \over x+2}+{Bx+C \over x^{2}+1}+{Dx+E \over (x^{2}+1)^{2}}+{Fx+G \over (x^{2}+1)^{3}}+{Hx+I \over (x^{2}+1)^{4}}+{Jx+K \over (x^{2}+1)^{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3653013e0631bfbf849b90218bf424cd60275a60)
부분분수로 분해하는 계산은 다양한 곳에서 응용될 수 있다.
계산하기 어려운 값[편집]
가장 유명한 예로 다음 주어진 일련의 분수식을 간단히 만드는 데 응용할 수 있다.
![{\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}+{\frac {1}{(x+2)(x+3)}}+{\frac {1}{(x+3)(x+4)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c033d587cd94e905d5490efcab61037c81356ee4)
![{\displaystyle ={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x+2}}+{\frac {1}{x+2}}-{\frac {1}{x+3}}+{\frac {1}{x+3}}-{\frac {1}{x+4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8c03062400c371833ecbc939ac859fcf0980cd)
![{\displaystyle ={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4b2680fb117b006f88b1fc4caf76996ae79467)
적분하기 어려운 함수[편집]
다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다.
![{\displaystyle \int {\frac {2}{x^{2}-1}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e1d9361b6ac1736c7da16fb693d0f914e0534c)
그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다.
![{\displaystyle \int {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{x+1}}dx=\ln |x-1|-\ln |x+1|+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e742c9601e20764934e0645abbc8ffc9ed4b4ac4)
물론
는 적분상수(Constant of integration)이다.
무한급수의 일반항[편집]
다음과 같은 유리식을 무한급수로 표현했다고 하자.
![{\displaystyle {\frac {2-x}{(1-x)^{2}}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab376ab67eea8d637e92197990d408e596433845)
이 무한급수의 계수들은 수열이 되는데, 그 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 부분분수로 쪼개서 계산할 수 있다.
![{\displaystyle {\frac {2-x}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x}}+{\frac {1}{(1-x)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148a855e2c53b0f5bac961c47aea918047a6eb17)
이 때, 다음 등식을 이용한다.
![{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{1-x}}={\frac {d}{dx}}\sum x^{n}=\sum (n+1)x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b72b6ee1ad35ce91f986445486b8d34a11418ce)
그리하여 다음을 얻는다.
![{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}+{\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum x^{n}+\sum (n+1)x^{n}=\sum (n+2)x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d7675dc3d81a7774a04b80631d80f66459dcd3)
역 라플라스 변환[편집]
역 라플라스 변환(Inverse Laplace transform)이 어려운 미분방정식을 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자.[1]
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-3{\frac {dy}{dt}}+2y=e^{3t};\;y(0)=1,y'(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0252dc4348fac378ef180295e73c60f3bdd0e78)
양변에 라플라스 변환을 취해 다음의 등식이 된다.
![{\displaystyle s^{2}Y(s)-s-3[sY(s)-1]+2Y(s)={\frac {1}{s-3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e994cdefe672487f9b393c62783c9272bea7e96b)
그리하여 이를
에 대해 정리하면 다음 등식이 성립한다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y(s)&={\frac {1}{(s-3)(s^{2}-3s+2)}}+{\frac {s-3}{s^{2}-3s+2}}\\&={\frac {1}{(s-1)(s-2)(s-3)}}+{\frac {s-3}{(s-1)(s-2)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67090c3b7f6d65ff9453d98fd374797e42686e3d)
그런데 이 두 항은 직접 역 라플라스 변환을 취하기에 너무 어렵다. 다음과 같이 모두 부분분수로 쪼갤 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y(s)&={\frac {1}{2}}{\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s-2}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{s-3}}+{\frac {2}{s-1}}-{\frac {1}{s-2}}\\&={\frac {5}{2}}{\frac {1}{s-1}}-{\frac {2}{s-2}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{s-3}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b2bebb1d79d340bf9d1a67fd4607636621eabeb)
그리하여 해는 다음과 같이 된다.
![{\displaystyle y(t)={\frac {5}{2}}e^{t}-2e^{2t}+{\frac {1}{2}}e^{3t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dcccb9273ec887bf67e38b00f8ceab8d3ef63b7)
같이 보기[편집]
- ↑ Braun, Martin (1992). 《Differential Equations and Their Applications》. Springer-Verlag. 230~231쪽. ISBN 978-0-387-97894-9.