맨션 정리

맨션 정리

기하학에서 맨션 정리(Mansion定理, 영어: Mansion's theorem)는 삼각형의 내심과 두 꼭짓점을 이어 만든 삼각형의 외심은 원래 삼각형의 외접원 위의 점이라는 정리이다.

정의

삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라고 하고, $AI$의 연장선과 외접원의 교점을 $M$이라고 하자. 맨션 정리에 따르면, $M$은 삼각형 $IBC$의 외심이다. 즉, 다음이 성립한다.

$MI=MB=MC$

증명

호 $MC$의 원주각의 성질에 의하여

$\angle MBC=\angle MAC$

이며, 내심 $I$의 정의에 의하여

$\angle IBC=\angle IBA$

$\angle IAC=\angle IAB$

이다. 따라서

$\angle MBI=\angle IBC+\angle MBC=\angle IBA+\angle IAB=\angle MIB$

이다. 즉, $MI=MB$이다. 마찬가지로 $MI=MC$를 보일 수 있다.

따름정리

맨션 정리는 오일러 삼각형 정리를 증명하는 데 쓰인다.

외부 링크

• Bogomolny, Alexander. “A Theorem of M. Mansion”. 《Cut the Knot》.