수론에서 르장드르 기호(Legendre symbol)는 어떤 수가 제곱 잉여인지 아닌지를 나타내는 함수이다.
홀수 소수
와 정수
에 대하여, 르장드르 기호는 다음과 같다.
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}1&p\nmid a\land \exists x\in \mathbb {Z} \colon x^{2}\equiv a{\pmod {p}}\\-1&p\nmid a\land \not \exists x\in \mathbb {Z} \colon x^{2}\equiv a{\pmod {p}}\\0&p\mid a\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38678985d973d79e227dc3e3c271e5195ee54708)
즉,
가
에 대한 제곱 잉여일 때 1을,
가
에 대한 제곱 비잉여일 때 -1을,
가
의 배수일 때 0을 값으로 한다. 르장드르 기호는 마치 분수처럼 생겼지만, 분수의 계산과는 관련이 없다.
다음과 같은 항등식들이 성립한다.
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{p(p-1)/2}{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ef878078e1e9614f4abca768cbd8bfa212eb2e)
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {p+a}{p}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5733b69cc0a6f40c395666457e9d9906734470)
![{\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8876ab646dd7c9976bc54dd7487527f77bd202)
![{\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{p}}\right)={\begin{cases}1&p\nmid a\\0&p\mid a\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2604e5170161515db2b4a7457a9c8033953d87d)
이들은 제곱 잉여의 성질에 대응한다. 예를 들어, 세 번째 항등식에 따라, 두 제곱 잉여의 곱은 제곱 잉여이다.
만약
라면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{\sum _{k=1}^{(p-1)/2}\lfloor ak/p\rfloor }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce3107caeea05260ae2df90b8e324d1cb5a7f6f)
홀수 소수
가
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)={(-1)^{(p-1)(q-1)/4}\left({\frac {q}{p}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66dec0f979d9c1f81b4a90309d09b918b5b41fdb)
이를 이차 상호 법칙이라고 한다. 즉,
와
는
![{\displaystyle p\equiv q\equiv 3{\pmod {4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d0c2a817da5d0a47e79e0094849212b44664b2)
인 경우를 제외하면 서로에 대한 제곱 잉여이거나, 서로에 대한 제곱 비잉여이다.
작은 정수의 홀수 소수
에 대한 르장드르 기호는 다음과 같다.
![{\displaystyle \left({\frac {1}{p}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1bc66bb06845bb4d2d3908f9ab3d72493874ce)
![{\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd6f01c83348d8f9bb96e78678a9b79e488ba03)
![{\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b14e7d26df86f3a5dd36450403b85e7df8fca0f)
야코비 기호는 르장드르 기호를 소수에서 임의의 홀수까지 확장하며, 크로네커 기호는 이를 임의의 짝수에까지 확장한다.
프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르가 도입하였다.