k·p 섭동 이론

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응집물질물리학에서, k·p 섭동 이론(k·p perturbation theory)은 띠구조를 다루는 섭동 이론의 하나다.

전개[편집]

위치 에너지 \ V(\vec{r}) 속에 있는 전자해밀토니언은 다음과 같다.

H_0=\mathbf p^2/2m+V(\mathbf r)+\frac1{4m^2c^2}(\boldsymbol{\sigma}\times\nabla V)\cdot\mathbf p.

전자 파동 함수 \psi(\mathbf r)슈뢰딩거 방정식

H_0\psi(\mathbf r)=E\psi(\mathbf r)

을 만족한다.

위치 에너지 \ V(\vec{r})브라베 격자의 주기성을 지닌다. 따라서 파동 함수블로흐 파

\psi(\mathbf r)=\sum_{\mathbf k}\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf r)u_{\mathbf k}(\mathbf r)

로 나타내자. 여기서 u_{\mathbf k}브라베 격자의 주기성을 지닌다. 그렇다면 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

H_{\mathbf k}u_{\mathbf k}(\mathbf r)=E_{\mathbf k}u_{\mathbf k}(\mathbf r).

여기서

H_{\mathbf k}=H_0+H'_{\mathbf k}=H_0+\hbar\mathbf k\cdot\mathbf p/m+\hbar^2\mathbf k^2/2m+
\frac1{4m^2c^2}(\boldsymbol{\sigma}\times\nabla V)\cdot\mathbf k

이다. 이제 H_0을 제외한 항들 H'_{\mathbf k}를 원래 해밀토니언 H_0에 대한 섭동항으로 간주하여 섭동 이론을 전개할 수 있다. 이 섭동 이론을 k·p 섭동 이론이라고 한다.

기본적인 경우[편집]

가장 기본적인 경우로, 스핀-궤도 결합 (\boldsymbol{\sigma}\times\nabla V)\cdot\mathbf p를 무시한 경우를 생각히 보자. 만약 결정 구조가 원점 대칭을 가진다면, parity에 의해 \langle n0| \vec{p} |0n \rangle = 0 이 성립한다. 즉, 에너지 1차 섭동은 0이다. 에너지 2차 섭동은 다음과 같다.

 \varepsilon_n(\vec{k}) = \varepsilon_n(0) + {\vec{k}^2 \over 2m} + {1 \over m^2} \sum_{\delta\neq n}{\langle n0|p_{\mu}k_{\mu}|0\delta\rangle\langle\delta0|p_{\nu}k_{\nu}|0n\rangle\over \varepsilon_{n0} - \varepsilon_{\delta0}}

이 때, 고유함수를 1차항까지 전개하면,

 |\vec{k}n \rangle = exp(i\vec{k}\cdot \vec{r}) (|0n\rangle + {1 \over m}\sum_{\delta\neq n}{\langle\delta 0|\vec{k}\cdot \vec{p} |0 n\rangle\over \varepsilon_{n0} - \varepsilon_{\delta 0}}).

유효 질량의 정의는 다음과 같다.

({1 \over m^*})_{\mu\nu} = {\partial \over\partial{k_{\mu}}}{\partial\over\partial{k_{\nu}}}\varepsilon_n(\vec{k})

이 정의를 이용해 \varepsilon_n(\vec{k})를 이차항까지 아래와 같은 꼴로 적어 준다.

\varepsilon_n(\vec{k}) = \varepsilon_n(0) + {1 \over 2m}({m \over m^*})_{\mu\nu} k_{\mu}k_{\nu}

이 식과 앞에서 구한, 섭동에 따른 전개식을 사용하면, 다음과 같은 결과에 도달하게 된다.

({m \over m^*})_{\mu\nu} = \delta_{\mu\nu} + {2\over m}\sum_{\delta\neq n}{\langle n0|p_{\mu}|0\delta\rangle\langle\delta0|p_{\nu}|0n\rangle\over \varepsilon_{n0} - \varepsilon_{\delta0}}

우변의 분모가 매우 작은 경우, 유효 질량 m^*이 실제 질량 m보다 매우 작게 된다. 예를 들어, 반도체 CdxHg1−xTe (x = 0.136)의 경우, 전도띠바닥 상태에서는 유효 질량이 m^*/m\le 4*10^{-4}으로 매우 작다.

스핀-궤도 결합[편집]

스핀-궤도 결합 효과를 고려하는 경우에는 보통 다음과 같은 역학적 운동량(mechanical momentum) \boldsymbol\pi를 정의한다.

 \boldsymbol\pi = \mathbf p +\frac1{mc^2} \boldsymbol\sigma \times \nabla V(\mathbf r).

그렇다면 섭동 해밀토니언 H'_{\mathbf k}는 다음과 같다.

H'_{\mathbf k}=\hbar\mathbf k\cdot\boldsymbol\pi/m+\hbar^2\mathbf k^2/2m.

즉, 스핀-궤도 결합을 고려하려면 모든 공식에서 바른틀 운동량 \mathbf p를 역학적 운동량 \boldsymbol\pi로 치환하기만 하면 된다.

겹침이 있는 경우의 k·p 섭동 이론[편집]

겹침이 있는 경우 k·p 섭동 이론은 더 복잡해진다. 기본적인 방법은 겹침이 없는 경우와 같으나, 기저를 새롭게 잡아서 해밀토니언의 섭동항의 대각 성분만 살려주도록 해야 한다. 경우에 따라 그 방법이 다양하다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Kittel, C. (1987). 《Quantum Theory of Solids》, 2판. ISBN 0-471-62412-8
  • (영어) Ashcroft, Neil W., N. David Mermin (1976년). 《Solid State Physics》. Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0-03-083993-9