Horofunction

수학에서, horofunction은 완비 거리 공간 X 위에서 정의된 함수로, X의 거리 함수의 극한이다. 미하일 레오니도비치 그로모프가 부스만 함수를 일반화하여 소개하였다.

정의

(X,d)를 완비 거리 공간이라고 하고, $o\in X$를 원점이라고 하자. 그러면 고정된 $x\in X$에 대하여, 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.

$d_{x}(y)=d(x,y)-d(y,o)$

이러한 $d_{\bullet }:~X\to C(X),~x\mapsto d_{x}$는 $C(X)$에 균등 노름을 주었을 때 등장사상이 되고, 이를 쿠라토프스키 매장이라고 한다.

$C'=C(X)/\{{\text{constant functions}}\}$라는 몫공간을 생각하면, X의 유계집합에서 균등수렴하는 위상을 얻는다. 이제 $C(X)\to C'$의 사영을 취하면, 원점 $o$에 상관없는 매장 $X\to C'$을 얻는다.

X를 가산 콤팩트 공간이라고 하자. ${\overline {X}}_{h}$를X의 $C'$에서의 폐포라 하고, horofunction 콤팩트화 (horofunction compactification)라 부른다. 또한 그 경계$\partial _{h}X={\overline {X}}_{h}\setminus X$를 X의 horofunction 경계 (horofunction boundary, horoboundary)라 한다. $h\in C(X)$ 중에서 $C(X)->C'$이라는 매장을 통해서 horofunction 경계로 들어가는 함수들, 즉 horofunction 컴팩트화를 할 때 추가되는 함수들을 horofunction한다. $h^{-1}(-\infty ,c)\in X$를 열린 horoball, $h^{-1}(c)$를horosphere라 한다.