ADHM 작도

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수리물리학에서, ADHM 작도(ADHM作圖, 영어: ADHM construction)는 선형대수학만을 사용하여 4차원 유클리드 공간의 양-밀스 순간자들을 작도하는 방법이다.

전개[편집]

SO(4)=SU(2)L×SU(2)R이다. 편의상 바일 스피너 표기법을 사용하자. 즉, SU(2)L의 기본 표현 2의 지수는 로, SU(2)R의 기본 표현 2의 지수는 로 쓴다. 이렇게 하면, SO(4)의 기본 표현은 4=(2,2)이므로, 4차원 벡터의 지표는 가 된다.

통상적으로,

이다.

ADHM 데이터[편집]

SU(N) 양-밀스 이론에서, 순간자수가 인 상태를 작도한다고 하자. 그렇다면 ADHM 작도는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • . 이는 로 적을 수 있다.
  • . 이는 복소 행렬로 나타낼 수 있다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 이를 ADHM 방정식(영어: ADHM equation)이라고 한다.

여기서 는 임의의 에르미트 행렬이다.

작도[편집]

이 데이터로, 순간자 를 다음과 같이 작도할 수 있다.

시공간 좌표 는 4차원 벡터이므로,

로 적을 수 있다. 여기서 파울리 행렬이다.

복소행렬 를 다음과 같이 정의하자.

위 조건에 따라서, 행렬 는 다음과 같은 꼴이다.

에 작용한다. 거의 모든 에 대하여, 차원이다. 따라서, 의 규칙화 영 모드들을 행렬 로 적자.

그렇다면 순간자 게이지 퍼텐셜 는 다음과 같다.

모듈러스 공간의 차원[편집]

개의 실수 매개변수, 개의 실수 매개변수를 기여한다. ADHM 방정식은 개의 제약을 가하고, 또한 임의의 에 대하여

와 같이 회전을 가해도 같은 순간자를 얻으므로, 모듈러스 공간의 차원은 이다.

끈 이론에서의 해석[편집]

ADHM 작도는 끈 이론으로 자연스럽게 해석할 수 있다.[1] 이 경우, N개의 겹친 D3-막에 녹아 있는 k개의 D(−1)-막들을 고려한다. 이 경우 D(−1)-막에 존재하는 (16개 초전하) 초대칭 게이지 이론을 고려한다. 이 게이지 이론은 쿨롱 상과 힉스 상 두 가지의 이 존재한다.

  • 쿨롱 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막에서 분리돼 각각 자유롭게 움직인다.
  • 힉스 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막 속에 녹아, D3-막 위에 존재하는 초대칭 게이지 이론순간자를 이룬다.

따라서, 다음과 같은 대응 관계를 얻는다.

기호 ADHM 작도 끈 이론 해석
N 게이지 군 SU(N)의 계수 겹친 D3-막의 수
k 순간자수 D(−1)-막의 수
ADHM 방정식 D(−1)-막 위에 존재하는 이론의 퍼텐셜의 D-항 및 F-항
D3-막과 D(−1)-막을 잇는 으로 발생하는 스칼라장
D(−1)-막의 (비가환) 위치
순간자 모듈러스 공간 D(−1)-막 세계부피 이론의 힉스 가지 모듈러스 공간

역사[편집]

마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 발표하였다.[2] 이름은 발견자들의 성의 머릿자를 딴 것이다.

참고 문헌[편집]

  1. Tong, David (2005). “TASI lectures on solitons” (영어). Bibcode:2005hep.th....9216T. arXiv:hep-th/0509216. 
  2. Atiyah, Michael Francis; Drinfeld, Vladimir; Hitchin, Nigel; Manin, Yuri (1978년 3월 6일). “Construction of instantons”. 《Physics Letters A》 (영어) 65 (3): 185–187. Bibcode:1978PhLA...65..185A. ISSN 0375-9601. MR 598562. Zbl 0424.14004. doi:10.1016/0375-9601(78)90141-X. 

외부 링크[편집]