펼침

범주론에서 펼침(영어: span 스팬^[*])은 범주 속의, 같은 정의역을 갖는 사상의 순서쌍이다.

정의[편집]

범주 ${\mathcal {C}}$ 가 모든 밂을 갖는다고 하자.

${\mathcal {C}}$ 속의 펼침은 같은 정의역을 갖는 두 사상이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

X{\overset {f}{\leftarrow }}Z{\overset {g}{\to }}Y

${\mathcal {C}}$ 속의 두 펼침 $X\leftarrow U\to Y$ , $Y\leftarrow V\to Z$ 의 합성은 다음과 같이 밂으로 정의되는 펼침 $X\leftarrow U\times _{Y}V\to Z$ 이다.

{\begin{matrix}&&&&U\times _{Y}V\\&&&\swarrow &&\searrow \\&&U&&&&V\\&\swarrow &&\searrow &&\swarrow &&\searrow \\X&&&&Y&&&&Z\end{matrix}}

(물론, 이러한 밂은 유일하지 않다. 따라서, 선택 공리를 사용하여 이들을 골라야 한다.)

이렇게 임의로 모든 밂들을 골랐을 때, ${\mathcal {C}}$ 와 같은 대상을 가지며, 펼침을 사상으로 갖는 범주 $\operatorname {Span} ({\mathcal {C}})$ 를 정의할 수 있다.

${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$ 의 펼침은 쌍대펼침(雙對-, 영어: cospan)이라고 한다.