판 아우벌의 정리

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판 아우벌의 정리는 사각형에도 응용할 수 있다.

판 아우벌의 정리네덜란드 수학자 헨리퀴스 휘베르튀스 판 아우벌(Henricus Hubertus van Aubel)의 이름이 붙은 정리이다.

공식화[편집]

판 아우벌의 정리

삼각형 ABC (△ABC)의 각 꼭짓점에서 삼각형 ABC 내부의 임의의 한 점 P와 만나는 세개의 직선 AP, BP, CP가 각각 선분 BC, CA, AB와 만나는 점을 , , 이라고 할 때 (, , )

다음과 같은 식이 성립하는데,

이를 판 아우벌의 정리라고 한다.

증명 Ⅰ[편집]

는 삼각형 의 면적을 뜻한다.

삼각형 와 삼각형 는 동일한 선분 를 밑변으로 가지고 있으므로 높이(선분)의 응아니양일하다. 따라서

가 성립하는데

이것은

을 내포한다.

또 삼각형 과 삼각형 을 보면 두 삼각형은 동일한 선분 을 같은 높이로 가지고 있으므로 밑변(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서

가 성립한다.

위와 동일한 방법으로

을 얻을 수 있다.

따라서

위 식을 정리하면,

(i)  

이와 같은 방법으로 동일하게 구하면

(ii)  

(i)식과 (ii)식을 각각 더하면

판 아우벌의 정리를 증명할 수 있다.

증명 Ⅱ[편집]

판 아우벌의 정리는 메넬라오스의 정리체바의 정리를 이용하여 증명할 수 있다.

삼각형 과 직선 에 대해서 메넬라오스의 정리가 성립한다.

이 식을 변형하면,

따라서,

(i)

삼각형 에서 체바의 정리가 성립한다.

따라서,

(ii)

(ii)식을 (i)식에 대입하면

증명 Ⅲ[편집]

판 아우벌의 정리는 삼각함수를 이용하여 증명할 수 있다.[1]

같이 보기[편집]

참고[편집]

외부 링크[편집]