수학 에서 테이트 코호몰로지군 (영어 : Tate cohomology group )은 유한군의 일반적인 코호몰로지 군 들을 약간 변형한 형태로 호몰로지 군과 코호몰로지 군을 하나의 열로 합친 것이다. 1952년 존 테이트 가 도입하였다. 정수론의 한 부분야인 유체론 에 등장한다.
G
{\displaystyle G}
유한군 이고
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
가군 이면 자연 사상
N
{\displaystyle N}
N
:
H
0
(
G
,
A
)
→
H
0
(
G
,
A
)
{\displaystyle N:H_{0}(G,A)\rightarrow H^{0}(G,A)}
a
↦
∑
g
∈
G
g
a
{\displaystyle a\mapsto \sum _{g\in G}ga}
∑
g
∈
G
g
a
{\displaystyle \sum _{g\in G}ga}
a
{\displaystyle a}
G
{\displaystyle G}
테이트 코호몰로지 군
H
^
n
(
G
,
A
)
{\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)}
H
^
n
(
G
,
A
)
=
H
n
(
G
,
A
)
{\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H^{n}(G,A)}
∀
n
≥
1
{\displaystyle \forall n\geq 1}
H
^
0
(
G
,
A
)
=
coker
N
=
{\displaystyle {\hat {H}}^{0}(G,A)=\operatorname {coker} N=}
H
0
(
G
,
A
)
{\displaystyle H^{0}(G,A)}
A
{\displaystyle A}
H
^
−
1
(
G
,
A
)
=
ker
N
=
{\displaystyle {\hat {H}}^{-1}(G,A)=\ker N=}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
H
^
n
(
G
,
A
)
=
H
−
n
−
1
(
G
,
A
)
{\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H_{-n-1}(G,A)}
∀
n
≤
−
2
{\displaystyle \forall n\leq -2}
만약
0
⟶
A
⟶
B
⟶
C
⟶
0
{\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0}
가
G
{\displaystyle G}
⋯
⟶
H
^
n
(
G
,
A
)
⟶
H
^
n
(
G
,
B
)
⟶
H
^
n
(
G
,
C
)
⟶
H
^
n
+
1
(
G
,
A
)
⟶
H
^
n
+
1
(
G
,
B
)
⋯
{\displaystyle \cdots \longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,B)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,C)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,B)\cdots }
A 가 유도된 G 가군이면 A 의 모든 테이트 코호몰로지 군이 사라진다.A 의 0번째 테이트 코호몰로지 군은(
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
이다. 여기서 "자명한" 고정점은
∑
g
a
{\displaystyle \sum ga}
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
테이트 정리 [ 편집 ] 테이트 정리(Tate 1952 ) harv error: 대상 없음: CITEREFTate1952 (help ) 는 코호몰로지 군 간의 동형사상이 되도록 코호몰로지류에 의한 곱셈에 대한 조건을 제공한다. 약간 다른 버전이 몇 가지 있다. 유체론 에 특히 편리한 버전은 다음과 같다.
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
a
{\displaystyle a}
G
{\displaystyle G}
E
{\displaystyle E}
H
1
(
E
,
A
)
{\displaystyle H^{1}(E,A)}
H
2
(
E
,
A
)
{\displaystyle H^{2}(E,A)}
Res
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {Res} (a)}
E 를 가진다.인
H
2
(
G
,
A
)
{\displaystyle H^{2}(G,A)}
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
H
^
n
(
G
,
Z
)
⟶
H
^
n
+
2
(
G
,
A
)
{\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,\mathbb {Z} )\longrightarrow {\hat {H}}^{n+2}(G,A)}
이다. 즉,
A
{\displaystyle A}
Tate-Farrell 코호몰로지 [ 편집 ] F. 토마스 파렐은 테이트 코호몰로지 군을 유한 가상 코호몰로지 차원의 모든 군 G의 경우로 확장했다. 파렐의 이론에 따르면, 군
H
^
n
(
G
,
A
)
{\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)}
들은 n이 군 G의 가상 코호몰로지 차원보다 클 때마다 일반 코호몰로지 군과 동형이다. 유한군은 가상 코호몰로지 차원 0을 가지며, 이 경우 파렐의 코호몰로지 군은 테이트의 코호몰로지 군과 같다.
참고 문헌 [ 편집 ] M. F. Atiyah and C. T. C. Wall , "코호몰로지 of Groups", in Algebraic Number Theory by J. W. S. Cassels, A. Frohlich ISBN 0-12-163251-2 , Chapter IV. See section 6.Brown, Kenneth S. (1982). 《Cohomology of Groups》. Graduate Texts in Mathematics 87 . New York-Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90688-6 MR 0672956 . Farrell, F. Thomas (1977). “An extension of tate cohomology to a class of infinite groups”. 《Journal of Pure and Applied Algebra 》 10 (2): 153–161. doi :10.1016/0022-4049(77)90018-4 . MR 0470103 . Tate, John (1952), “The higher dimensional cohomology groups of class field theory”, 《Annals of Mathematics 》, 2 56 : 294–297, doi :10.2307/1969801 , JSTOR 1969801 , MR 0049950 
