축소 호몰로지(reduced homology)와 축소 코호몰로지(reduced cohomology)는 호몰로지 군에 약간 수정을 가한 것이다.
비어 있지 않은 위상 공간의 0차 호몰로지 군은 자명하지 않기 때문에 많은 경우에서 예외가 생길 수 있다. 예를 들어 가장 간단한 공간인 한원소 공간의 호몰로지는 0차에서만
가 된다. 초구
의 호몰로지도 n차와 별도로 0차에서
이 된다.
![{\displaystyle \operatorname {H} _{k}(\{\bullet \})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1b2f14d4d80924c7f08864b951754cef82e4e0)
![{\displaystyle \operatorname {H} _{k}(\mathbb {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d1236c7c9ed12432b1c038bedc61ed6e230a5e)
만약 0차 호몰로지 · 코호몰로지 군의
이 하나 줄어들 수 있다면, 편의상 이점이 생길 것이다.
보통의 호몰로지는 다음과 같은 사슬 복합체에서
를 취해 만들어진다.
![{\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5c4bfcd0a5637173b3b85393458003309ad800)
위 사슬 복합체에
와 사상
을 추가해 다음과 같은 복합체를 얻는다.
![{\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}=\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c493de9962ef077ddd9c9d5ee6491fd071d63e04)
위 복합체로 정의된 호몰로지
를 축소 호몰로지로 정의한다.
축소 코호몰로지도 마찬가지로 정의할 수 있다.
축소 호몰로지는 원래 호몰로지에 비해 0차에서만 한 차원 낮고 나머지 차수에서는 동일하다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{k}(X)&\cong \operatorname {\tilde {H}} _{k}(X),\quad k>0\\H_{0}(X)&\cong \operatorname {\tilde {H}} _{0}(X)\oplus \mathbb {Z} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff784de7f770f449ccf0a41a8b970e46c6d9125)
따라서 경로 연결 공간의 경우
이 된다.
- 무어 공간은 축소 호몰로지가 한 차수를 제외하고 모두 0일 것을 요구한다.
- 알렉산더 쌍대성은 축소 (코)호몰로지를 쓰기 때문에 보다 간단하게 표현할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {\tilde {H}} _{k}(\mathbb {S} ^{n}\setminus X)\cong \operatorname {\tilde {H}} ^{n-k-1}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ea7b91675dd8f8a983560a40792d553212b21e)