최대 원리

해석학에서, 최대 원리(最大原理, 영어: maximum principle)는 조화 함수가 극대점을 갖지 않는다는 정리다. 조화함수 말고도, 특정 타원형·포물형 편미분 방정식의 해에 대해서도 성립한다.

정의

연결 열린집합 $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ 위의 조화 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$가 극대점을 갖는다고 하자. 즉, 다음 성질을 만족시키는 점 $x_{0}\in D$ 및 근방 $N\ni x_{0}$이 존재한다고 하자.

$\sup _{N}f\leq f(x_{0})$

그렇다면 $f$는 상수 함수이다.

호프 최대 원리

연결 열린집합 $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ 위의 $C^{2}$ 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$가 다음과 같은 꼴의 미분 부등식을 만족시킨다고 하자.

$A^{ij}(x)\nabla _{i}\nabla _{j}f(x)+b^{i}(x)\nabla _{i}f(x)\geq 0$

여기서 $A$는 국소적으로 균등 양의 정부호인 대칭 행렬이며, $A$와 $b$의 성분들은 모두 국소 유계이다. 만약 $u$가 $x\in D$에서 최댓값을 갖는다면, $u$는 상수 함수이다. 이를 호프 최대 원리(영어: Hopf maximum principle)라고 한다.

같이 보기

• 최대 절댓값 원리