이차 상호 법칙

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수론에서, 이차 상호 법칙(二次相互法則, 영어: law of quadratic reciprocity)은 두 홀수 소수가 서로에 대하여 제곱잉여인지 여부가 대칭적이라는 정리다.

정의[편집]

이차 상호 법칙에 따르면, 가 서로 다른 홀수 소수일 때, 이차 합동식

에 대하여 다음 두 경우가 성립한다.

  • 만약 라면 두 합동식 가운데 하나는 해가 존재하고, 다른 하나는 해가 존재하지 않는다.
  • 그밖의 경우 둘 다 해가 존재하든지 둘 다 해가 존재하지 않는다.

서로 다른 두 홀수 소수 에 대하여 르장드르 기호 에 대한 제곱잉여일 때 , 그렇지 않을 때 로 정의된다.

르장드르 기호를 이용하면, 이차 상호 법칙을 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

우변은 를 4로 나눈 나머지가 둘 다 3일 때만 이 된다.

위의 등식은 야코비 기호로 확장할 수 있다. 1이 아닌 두 홀수 서로소일 때,

이 성립한다.

또한, 소수라면 다음 두 법칙이 성립한다.

이를 각각 이차 상호 법칙의 제1 보충(二次相互法則의第一補充, 영어: first supplement to quadratic reciprocity)과 이차 상호 법칙의 제2 보충(二次相互法則의第二補充,영어: second supplement to quadratic reciprocity)이라고 한다.

가우스 정수의 이차 상호 법칙[편집]

가우스 정수의 경우, 다음과 같은 형태의 이차 상호 법칙이 성립한다. 가 2가 아닌 가우스 소수이며, 의 배수가 아닌 가우스 정수라고 하자. 그렇다면 르장드르 기호와 유사하게 다음 기호를 정의하자.

그렇다면 다음이 성립한다.

여기서

는 가우스 정수의 체 노름이다.

서로 다른 두 가우스 소수 에 대하여,

라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

또한, 에 대하여 다음이 성립한다.

아이젠슈타인 정수의 이차 상호 법칙[편집]

아이젠슈타인 정수의 경우, 다음과 같은 형태의 이차 상호 법칙이 성립한다. 가 아이젠슈타인 소수이며, 이라고 하자. 또한, 의 배수가 아닌 아이젠슈타인 정수라고 하자. 그렇다면 르장드르 기호와 유사하게 다음 기호를 정의하자.

그렇다면 다음이 성립한다.

여기서

는 아이젠슈타인 정수의 체 노름이다.

서로 다른 두 아이젠슈타인 소수

의 꼴이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

또한, 다음이 성립한다.

역사[편집]

이차 상호 법칙을 다루고 있는 《산술 연구》의 쪽

레온하르트 오일러아드리앵마리 르장드르는 이차 상호 법칙을 추측하였으나 증명하지 못했다. 카를 프리드리히 가우스가 《산술 연구》(라틴어: Disquisitiones arithmeticae 디스퀴시티오네스 아리트메티카이[*])에서 최초로 이차 상호 법칙을 증명하였다. 가우스는 이차 상호 법칙을 "기본 정리"(라틴어: Theorema fundamentale 테오레마 푼다멘탈레[*])라고 불렀고, 이에 대하여 다음과 같이 적었다.

이 종류의 정리들 가운데 가장 우아한 정리인 기본 정리는 나 이전의 그 누구도 이렇게 간단한 형태로 서술하지 못하였다.
Theorema fundamentale, quod sane inter elegantissima in hoc genere est referendum, in eadem forma simplici, in qua supra propositum est, a nemine hucusque fuit prolatum.
 
〈151. De aliorum laboribus circa has investigationes〉. 《Disquisitiones arithmeticae》. 

가우스는 평생에 걸쳐 이차 상호 법칙의 8가지 다른 증명을 제시하였다.[1]

가우스 이후, 현재까지 발표된 이차 상호 법칙의 증명들은 200여 개에 이르며, 최근까지도 꾸준히 새로운 증명들이 발표되고 있다.[1]

[편집]

두 홀수 소수들 사이의 제곱 잉여 여부를 표로 나타내면 다음과 같다. 이차 상호 법칙에 따라, 표가 대각선을 중심으로 대칭이거나 반대칭임을 알 수 있다.

범례
R q제곱잉여 (mod p)    q ≡ 1 (mod 4) 또는 p ≡ 1 (mod 4)  
N q는 제곱잉여가 아님 (mod p)  
R q제곱잉여 (mod p) qp ≡ 3 (mod 4)
N q는 제곱잉여가 아님 (mod p)  
q
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
p 3   N R N R N R N N R R N R N N N R R N R R N N R
5 N   N R N N R N R R N R N N N R R N R N R N R N
7 N N   R N N N R R N R N R N R N N R R N R N N N
11 R R N   N N N R N R R N N R R R N R R N N N R R
13 R N N N   R N R R N N N R N R N R N N N R N N N
17 N N N N R   R N N N N N R R R R N R N N N R R N
19 N R R R N R   R N N N N R R N N R N N R N R N N
23 R N N N R N N   R R N R N R N R N N R R N N N N
29 N R R N R N N R   N N N N N R R N R R N N R N N
31 N R R N N N R N N   N R N R N R N R R N N N N R
37 R N R R N N N N N N   R N R R N N R R R N R N N
41 N R N N N N N R N R R   R N N R R N N R N R N N
43 N N N R R R N R N R N R   R R R N R N N R R N R
47 R N R N N R N N N N R N N   R R R N R N R R R R
53 N N R R R R N N R N R N R R   R N N N N N N R R
59 R R R N N R R N R N N R N N R   N N R N R N N N
61 R R N N R N R N N N N R N R N N   N N R N R N R
67 N N N N N R R R R N R N N R N R N   R R N R R N
71 R R N N N N R N R N R N R N N N N N   R R R R N
73 R N N N N N R R N N R R N N N N R R R   R N R R
79 N R N R R N R R N R N N N N N N N R N R   R R R
83 R N R R N R N R R R R R N N N R R N N N N   N N
89 N R N R N R N N N N N N N R R N N R R R R N   R
97 R N N R N N N N N R N N R R R N R N N R R N R  

제곱 잉여 문제의 일부 예는 다음과 같다.

(p, q)
(3,7) 해 없음
(3,5) 해 없음 해 없음
(5,11)
(5, 13) 해 없음 해 없음
(13, 17)

제곱잉여의 판별[편집]

일반적으로 어떤 수가 제곱잉여인지 아닌지를 판별하는 문제는 쉽지 않다. 이때 이차상호법칙을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

예를 들어, 다음 합동식

이 해를 가지는지를 판별하여 보자. 이것은 르장드르 기호 의 값을 구하면 된다.

르장드르 기호의 성질에 의해,

이다. 한편 3, 19, 127은 모두 4로 나눈 나머지가 3인 소수이므로 이차상호법칙에 의해

이고

이다. 따라서

이므로, 57은 127에 대한 제곱잉여가 아니다.

참고 문헌[편집]

  1. Lemmermeyer, Franz. “Proofs of the Quadratic Reciprocity Law” (영어). 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]