이차상호법칙

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수론에서, 이차상호법칙(二次相互法則, 영어: law of quadratic reciprocity)은 두 홀수 소수 p\,q\,가 서로에 대하여 제곱잉여인지 그렇지 않은지가 대칭적인 성질을 띠고 있다는 정리이다.

정의[편집]

두 홀수 p\,q\,가 서로 다른 소수일 때, 이차 합동식

\begin{cases}x^2 \equiv p \pmod{q} \\ y^2 \equiv q \pmod{p} \end{cases}

에 대하여 다음 두 경우가 성립한다.

  • p\,q\, 모두 4로 나눈 나머지가 3일 때 두 합동식 가운데 하나만 해가 존재하고
  • 그밖의 경우 둘 다 해가 존재하든지 둘 다 해가 존재하지 않는다.

르장드르 기호를 이용한 표현[편집]

서로 다른 두 홀수 소수 p\,q\,에 대하여 르장드르 기호 \left(\frac{p}{q}\right)p\,q\,에 대한 제곱잉여일 때 1, 그렇지 않을 때 -1로 정의된다.

르장드르 기호를 이용하면 이차상호법칙을 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}

우변은 p\,q\,를 4로 나눈 나머지가 둘 다 3일 때만 -1이 된다.

위의 등식은 야코비 기호로 확장할 수 있다. 1이 아닌 두 홀수 m\,n\,서로소일 때,

\left(\frac{m}{n}\right) \left(\frac{n}{m}\right) = (-1)^{\frac{(m-1)(n-1)}{4}}

이 성립한다.

역사[편집]

이차상호법칙은 레온하르트 오일러아드리앵마리 르장드르에 의해 추측되었으나 최초의 증명은 카를 프리드리히 가우스에 의해 주어졌다. 가우스는 이 법칙에 대하여

정수론은 과학의 여왕인 수학이 쓰고 있는 왕관이며, 이차상호법칙은 이 왕관의 빛나는 보석이다

라는 말을 남겼다. 그는 평생에 걸쳐 8가지 다른 증명을 제시하였다.

[편집]

p=3, q=7인 경우[편집]

  • p \equiv 3, q \equiv 3\pmod{4}
  • x^2 \equiv 3\pmod{7} \Rightarrow 해 없음
  • y^2 \equiv 7 \equiv 1\pmod{3} \Rightarrow y \equiv \pm1\pmod{3}

p=3, q=5인 경우[편집]

  • p \equiv 3, q \not\equiv 3\pmod{4}
  • x^2 \equiv 3\pmod{5} \Rightarrow 해 없음
  • y^2 \equiv 5 \equiv 2\pmod{3} \Rightarrow 해 없음

p=5, q=11인 경우[편집]

  • p \not\equiv 3, q \equiv 3\pmod{4}
  • x^2 \equiv 5\pmod{11} \Rightarrow x \equiv \pm4\pmod{11}
  • y^2 \equiv 11 \equiv 1\pmod{5} \Rightarrow y \equiv \pm1\pmod{5}

p=5, q=13인 경우[편집]

  • p \not\equiv 3, q \not\equiv 3\pmod{4}
  • x^2 \equiv 5\pmod{13} \Rightarrow 해 없음
  • y^2 \equiv 13 \equiv 3\pmod{5} \Rightarrow 해 없음

p=13, q=17인 경우[편집]

  • p \not\equiv 3, q \not\equiv 3\pmod{4}
  • x^2 \equiv 13\pmod{17} \Rightarrow x \equiv \pm8\pmod{17}
  • y^2 \equiv 17 \equiv 4\pmod{13} \Rightarrow y \equiv \pm2\pmod{13}

제곱잉여의 판별[편집]

일반적으로 어떤 수가 제곱잉여인지 아닌지를 판별하는 문제는 쉽지 않다. 이때 이차상호법칙을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

예를 들어, 다음 합동식

x^2 \equiv 57 \pmod{127}

이 해를 가지는지를 판별하여 보자. 이것은 르장드르 기호 \left( \frac{57}{127} \right)의 값을 구하면 된다.

르장드르 기호의 성질에 의해,

\left( \frac{57}{127} \right) = \left( \frac{3}{127} \right) \left( \frac{19}{127} \right)

이다. 한편 3, 19, 127은 모두 4로 나눈 나머지가 3인 소수이므로 이차상호법칙에 의해

\left(\frac{3}{127}\right) =(-1)^{\frac{(3-1)(127-1)}{4}}\left(\frac{127}{3}\right) =(-1)\left(\frac{1}{3}\right) = -1

이고

\left(\frac{19}{127}\right) =(-1)^{\frac{(19-1)(127-1)}{4}}\left(\frac{127}{19}\right) =(-1)\left(\frac{13}{19}\right)
=(-1)(-1)^{\frac{(13-1)(19-1)}{4}}\left(\frac{19}{13}\right) =(-1)\left(\frac{6}{13}\right)=(-1)\left(\frac{2}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right)
=(-1)(-1)(-1)^{\frac{(3-1)(13-1)}{4}}\left(\frac{13}{3}\right) =\left(\frac{1}{3}\right) =1

이다. 따라서

\left(\frac{57}{127}\right)=-1

이므로, 57은 127에 대한 제곱잉여가 아니다.

바깥 고리[편집]