원 안에 원 채우기

원 안에 원 채우기는 단위 원으로 가능한 한 작은 큰 원을 채우는 것이 목적인 이차원 채우기 문제이다.

최소 해(여러 최소 해가 존재하는 경우, 한가지 변형만을 표에 나타냄)는 다음과 같다.^[1]

단위 원의 개수	최소 원의 반경	밀도	최적성
1	1	1.0000	최적임이 자명함.
2	2	0.5000	최적임이 자명함.
3	$1+{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}$ ≈ 2.154...	0.6466...	최적임이 자명함.
4	$1+{\sqrt {2}}$ ≈ 2.414...	0.6864...	최적임이 자명함.
5	$1+{\sqrt {2(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}})}}$ ≈ 2.701...	0.6854...	최적임이 자명함. 1968년에 Graham에 의해 최적임이 증명됨.^[2]
6	3	0.6667...	최적임이 자명함. 1968년에 Graham에 의해 최적임이 증명됨.^[2]
7	3	0.7778...	최적임이 자명함.
8	$1+{\frac {1}{\sin({\frac {\pi }{7}})}}$ ≈ 3.304...	0.7328...	1969년에 Pirl에 의해 최적임이 증명됨.^[3]
9	$1+{\sqrt {2(2+{\sqrt {2}})}}$ ≈ 3.613...	0.6895...	1969년에 Pirl에 의해 최적임이 증명됨.^[3]
10	3.813...	0.6878...	1969년에 Pirl에 의해 최적임이 증명됨.^[3]
11	$1+{\frac {1}{\sin({\frac {\pi }{9}})}}$ ≈ 3.923...	0.7148...	1994년에 Melissen에 의해 최적임이 증명됨.^[4]
12	4.029...	0.7392...	2000년에 Fodor에 의해 최적임이 증명됨.^[5]
13	$2+{\sqrt {5}}$ ≈4.236...	0.7245...	2003년에 Fodor에 의해 최적임이 증명됨.^[6]
14	4.328...	0.7474...	최적이라고 추측.^[7]
15	$1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}$ ≈ 4.521...	0.7339...	최적이라고 추측.^[7]
16	4.615...	0.7512...	최적이라고 추측.^[7]
17	4.792...	0.7403...	최적이라고 추측.^[7]
18	$1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ≈ 4.863...	0.7611...	최적이라고 추측.^[7]
19	$1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ≈ 4.863...	0.8034...	1999년에 Fodor에 의해 최적임이 증명됨.^[8]
20	5.122...	0.7623...	최적이라고 추측.^[7]

같이 보기[편집]

원판 덮기 문제

각주[편집]

↑ “Erich Friedman, Circles in Circles on Erich's Packing Center”. 2020년 3월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 12일에 확인함.
↑ ^가 ^나 R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer.
↑ ^가 ^나 ^다 U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
↑ H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.
↑ F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.
↑ F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ,Ostergard PRJ.
↑ F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom.

외부 링크[편집]

[1] “Erich Friedman, Circles in Circles on Erich's Packing Center”. 2020년 3월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 12일에 확인함.

[Graham68-2] 가 ^나 R.L. Graham, Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921), Amer.

[Pirl-3] 가 ^나 ^다 U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten, Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.

[Melissen-4] H. Melissen, Densest packing of eleven congruent circles in a circle, Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.

[Fodor1-5] F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.

[Fodor2-6] F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle, Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.

[Graham98-7] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ,Ostergard PRJ.

[Fodor3-8] F. Fodor, The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle, Geom.

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