(3,4)-원환면 매듭. 위 그림:
를
와 붙이고,
를
와 붙이면 이는 원환면을 이루며, 푸른 선들은 그 위의 원환면 매듭을 이룬다. 아래 그림: 같은 원환면 매듭을 꼬임으로 표현한 것.
매듭 이론에서 원환면 연환(圓環面連環, 영어: torus link)은 원환면 위에 간단하게 그려질 수 있는 연환이다.
0이 아닌 두 정수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
-원환면 연환은 다음과 같은 3차원 곡선들의 집합으로 주어지는 연환이다.
![{\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \gcd\{p,q\}\mathbb {Z} \to \mathbb {R} ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7b7642481f6b0a308a8f3895fbbda7012efd47)
![{\displaystyle t\mapsto \left(\cos(pt+2\pi k/\gcd\{p,q\})(\cos(qt)+2),\sin(pt+2\pi k/\gcd\{p,q\})(\cos(qt)+2),-\sin(qt)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826e486503d4fc0e2f1c24018bb8d79f0c94eca4)
![{\displaystyle k\in \{0,1,\dotsc ,\gcd\{p,q\}-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a87f23bf766f2e29f500e614c71adc14a5bd39)
이 곡선들은 원환면
![{\displaystyle \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-2\right)^{2}+z^{2}=1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2995875a91963773744fd7641a635d7e8ccb2ad1)
위에 속하는 연환을 정의한다.
즉, 이는 원환면을 다음과 같이 감는다.
- z축에 대하여,
번 감기
- 원환면의 중심에 있는 원에 대하여,
번 감기
매듭인 원환면 연환을 원환면 매듭(영어: torus knot)이라고 한다.
-원환면 연환의 연결 성분의 수는
![{\displaystyle \gcd\{p,q\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf7fe755bc744a980e272c0e9931d2f93dbf21d)
이다. 즉, 이것이 원환면 매듭이 될 필요 충분 조건은
와
가 서로소인 것이다.
-원환면 연환이 자명한 매듭일 필요 충분 조건은 다음과 같다.
이거나
이다. 즉,
이다.
-원환면 연환과
-원환면 연환이 동치일 필요 충분 조건은 다음과 같다.
이거나, 또는 ![{\displaystyle \min\{|p|,|q|\}=\min\{|p'|,|q'|\}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed7e7a4ee23535d55a18943619161c0d353839b)
즉, 자명한 매듭이 아닌 경우 항상
![{\displaystyle p\geq |q|\geq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4deffb74d0046ee0080b57daf17185350ecf472c)
인 표준형으로 놓을 수 있다.
또한,
-원환면 연환의 거울 대칭 연환은
-원환면 연환이다.
교차수[편집]
-원환면 연환의 교차수는 다음과 같다.
![{\displaystyle \min\{(|p|-1)|q|,(|q|-1)|p|\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf03c211907e7a01f48cbe476ce82baf41257c8d)
-
(1,±1)-원환면 매듭 (
자명한 매듭 0
1)
-
(2,±2)-원환면 연환 (
호프 연환 ![{\displaystyle 2_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822e473fd6ace725b54aa9016b9e8001d971d3e6)
)
-
(3,2)-원환면 매듭 (오른손
세잎매듭 3
1)
-
(3,−2)-원환면 매듭 (왼손
세잎매듭 3
1)
-
(3,±3)-원환면 연환 (
![{\displaystyle 6_{3}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4df44dce611d6ee581946d925b89d057b926a2)
)
-
(5,2)-원환면 매듭 (오른손 다섯잎매듭 51)
-
(5,−2)-원환면 매듭 (왼손 다섯잎매듭 51)
-
(8,2)-원환면 연환
![{\displaystyle 4_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1f5825babcfe1bf903306a6f55b99ed72071f8)
-
(8,−2)-원환면 연환
![{\displaystyle 4_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1f5825babcfe1bf903306a6f55b99ed72071f8)
-
(7,−2)-원환면 매듭 (71)
-
(7,−3)-원환면 매듭
-
(8,−3)-원환면 매듭
-
(8,3)-원환면 매듭
-
(12,2)-원환면 연환
이 밖에도, 원환면 매듭의 알렉산더-브리그스 기호 및 (연환의 경우) 시슬스웨이트 기호는 다음과 같다.
(p,q) |
2 |
3
|
2
|
호프 연환 (L2a1)
|
3
|
세잎매듭 31 |
(L6n1)
|
4
|
솔로몬 연환 (L4a1) |
819
|
5
|
다섯잎매듭 51 |
10124
|
외부 링크[편집]