심플렉틱 용량

심플렉틱 기하학에서 심플렉틱 용량(symplectic容量, 영어: symplectic capacity)은 심플렉틱 다양체의 2차원 "넓이"를 측정하는 방법이다. 그로모프 조임 불가능성 정리(Громов조임不可能性定理, 영어: Gromov non-squeezing theorem)에 따라, 심플렉틱 용량이 존재한다.

정의

$2n$ 차원의 심플렉틱 다양체들의 집합을 $\operatorname {Sympl} _{n}$이라고 쓰자. 심플렉틱 용량은 다음 조건들을 만족시키는 함수

$c\colon \operatorname {Sympl} _{n}\to [0,\infty ]$

이다.

• (단조성) 만약 심플렉틱 매장 $\iota \colon U\to V$가 존재한다면, $c(U)\leq c(V)$
• (동차성) 임의의 양의 실수 $\lambda \in \mathbb {R} ^{+}$ 및 심플렉틱 다양체 $(U,\omega )$에 대하여, $c(U,\lambda \omega )=\lambda ^{2}c(U,\omega )$
• (규격화) $c(\mathbb {B} ^{2n}(r))=c(\mathbb {B} ^{2}(r)\times \mathbb {R} ^{2n-2})=\pi r^{2}$

여기서 $\mathbb {B} ^{2n}(r)$는 $2r$차원의, 반지름이 $r$인 공 $\mathbb {B} ^{2n}(r)\subset \mathbb {R} ^{2n}$에 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 것이다.

성질

다음과 같은 두 함수를 정의하자.

$c_{\min }(M)=\sup\{r\colon \exists \iota \colon \mathbb {B} ^{2n}(r)\hookrightarrow M\}$

$c_{\max }(M)=\inf\{r\colon \exists \iota \colon M\hookrightarrow \mathbb {B} ^{2}(r)\times \mathbb {R} ^{2n-2}\}$

그로모프 조임 불가능성 정리에 따르면, $c_{\min }$과 $c_{\max }$는 심플렉틱 용량을 이룬다. 특히, 만약 심플렉틱 매장

$\mathbb {B} ^{2n}(r)\hookrightarrow \mathbb {B} ^{2}(R)\times \mathbb {R} ^{2n-2}$

이 존재하는 필요충분조건은 $r\leq R$이다. 또한, 모든 심플렉틱 용량 $c$에 대하여,

$c_{\min }(M)\leq c(M)\leq c_{\max }(M)$

이 성립한다.

역사

미하일 그로모프가 1985년에 유사 정칙 곡선을 사용하여 그로모프 조임 불가능성 정리를 증명하였다.

참고 문헌

• de Gosson, Maurice. “The symplectic egg” (영어). arXiv:1208.5969. 
• de Gosson, Maurice. “How classical is the quantum universe?” (영어). arXiv:0808.2774. 

외부 링크

• McDuff, Dusa (2009). “What is symplectic geometry?” (PDF) (영어). 2015년 6월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 7월 12일에 확인함.