심플렉틱 용량

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심플렉틱 기하학에서, 심플렉틱 용량(symplectic容量, 영어: symplectic capacity)은 심플렉틱 다양체의 2차원 "넓이"를 측정하는 방법이다. 그로모프 조임 불가능성 정리(Громов조임不可能性定理, 영어: Gromov non-squeezing theorem)에 따라, 심플렉틱 용량이 존재한다.

정의[편집]

차원의 심플렉틱 다양체들의 집합을 이라고 쓰자. 심플렉틱 용량은 다음 조건들을 만족시키는 함수

이다.

  • (단조성) 만약 심플렉틱 매장 가 존재한다면,
  • (동차성) 임의의 양의 실수 및 심플렉틱 다양체 에 대하여,
  • (규격화)

여기서 차원의, 반지름이 에 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 것이다.

성질[편집]

다음과 같은 두 함수를 정의하자.

그로모프 조임 불가능성 정리에 따르면, 는 심플렉틱 용량을 이룬다. 특히, 만약 심플렉틱 매장

이 존재하는 필요충분조건은 이다. 또한, 모든 심플렉틱 용량 에 대하여,

이 성립한다.

역사[편집]

미하일 그로모프가 1985년에 유사 정칙 곡선을 사용하여 그로모프 조임 불가능성 정리를 증명하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Gromov, M. L. (1985). “Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds”. 《Inventiones Mathematicae》 (영어) 82: 307–347. Bibcode:1985InMat..82..307G. doi:10.1007/BF01388806. 
  • de Gosson, Maurice. “The symplectic egg” (영어). arXiv:1208.5969. 
  • de Gosson, Maurice. “How classical is the quantum universe?” (영어). arXiv:0808.2774. 

외부 링크[편집]