스티븐스 상수

스티븐스 상수(Stephens' Constant)에 대한 설명이다.

$\prod _{p}\left(1-{{p} \over {p^{3}-1}}\right)=0.57595996889294543964316337549249669...$(OEIS의 수열 A065478)

스티븐스상수는 소수 및 오일러의 곱셈 공식과 관련하여 소수 분포 밀도에대한 수학 상수이다.

스티븐스(Stephens, P. J.)는 일반화된 리만 가설을 가정하고서, 소수에 대한 집합의 밀도를 표현해 보였다.

알틴상수와 스티븐스 상수

$C_{S}=\prod _{p}\left(1-{{p} \over {p^{3}-1}}\right)$

과정:

$\;\;\;=\prod _{p}\left(1-{{p} \over {((p+1)^{2}(p-1))-p^{2}+p}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left({{((p+1)^{2}(p-1))-p^{2}+p-p} \over {((p+1)^{2}(p-1))-p^{2}+p}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left({{((p+1)^{2}(p-1))-p^{2}} \over {((p+1)^{2}(p-1))-p^{2}+p}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left({{p^{3}-p-1} \over {p^{3}-1}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left({{(p(p^{2}-1))-1} \over {(p(p^{2}-1))+p-1}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left({{(p(p^{2}-1))-1} \over {((p+1)^{2}(p-1))-p^{2}+p}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left({{(p(p^{2}-1))-1} \over {((p+1)^{2}(p-1))-p(p-1)}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left({{p(p^{2}-1)-1} \over {((p+1)^{2}-p)(p-1)}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left({{p(p^{2}-1)-{1}} \over {(p-1)}}\right)\left({{1} \over {((p+1)^{2}-p)}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left({{p\left((p^{2}-1)-{{1} \over {p}}\right)} \over {(p-1)}}\right)\left({{1} \over {p^{2}+2p+1-p}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left({{(p^{2}-1)-{{1} \over {p}}} \over {(p-1)}}\right)\left({{p} \over {p^{2}+p+1}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left({{(p^{2}-1)-{{1} \over {p}}} \over {(p-1)}}\right)\left({{p} \over {p(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left({{(p^{2}-1)-{{1} \over {p}}} \over {p(p-1)}}\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{{1} \over {p}} \over {p(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {(p-1)}}\right)+\left({{p-1-p^{2}(p-1)} \over {p^{2}(p-1)^{2}}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p}\left(C_{A}+\left({{(p-1)-p^{2}(p-1)} \over {p^{2}(p-1)^{2}}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$C_{A}$는 알틴 상수

$\;\;\;=\prod _{p}\left(C_{A}+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

란다우 토션트 상수 및 토션트 상수의 스트븐스 상수 표현

$C_{S}=\prod _{p}\left(\left({{(p^{2}-1)} \over {p(p-1)}}\right)-\left({{1} \over {(p-1)}}\right)+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$C_{S}=\prod _{p}\left(C_{Lt}-\left({{1} \over {p^{2}-p}}\right)-\left({{1} \over {p^{2}-p}}\right)+\left({{1-p^{2}} \over {p^{2}(p-1)}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$C_{S}=\prod _{p}\left(C_{Lt}-\left({{1} \over {p^{2}-p}}\right)-\left({{1} \over {p^{2}-p}}\right)+C_{t}-\left({{p} \over {p-1}}\right)\right)\left({{p} \over {(p+1+{{1} \over {p}})}}\right)$

$C_{Lt}=$ 란다우 토션트 상수

$C_{Lt}=\prod _{p}\left(1+{{1} \over {p(p-1)}}\right)$

$C_{t}=$ 토션트 상수

$C_{t}=\prod _{p}^{}\left(1+{{1} \over {p^{2}(p-1)}}\right)$

같이 보기

• 토션트 상수
• 쌍둥이 소수 상수

참고

• (Binary strings without zigzags

Emanuele Munarini - Norma Zagaglia Salvi,S´eminaire Lotharingien de Combinatoire 49 (2004), Article B49h)http://www.mat.univie.ac.at/~slc/wpapers/s49zagaglia.pdf (http://www.mat.univie.ac.at/~slc/wpapers/s49zagaglia.html)

• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/StephensConstant.html
• (OEIS)https://oeis.org/A078079
• (OEIS)http://oeis.org/A065478
• (OEIS)Sequence in context: A136644 A111963 A206923 * A176982 A079728 A181801
• (Stephens' constant)Stephens, P. J. "Prime Divisor of Second-Order Linear Recurrences, I." J. Number Th. 8, 313-332, 1976.