소 매듭

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매듭 이론에서, 소 매듭(素-, 영어: prime knot)은 자명한 매듭이 아니며, 다른 매듭의 연결합으로 나타내어질 수 없는 매듭이다.

정의[편집]

매듭의 연결합[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 유향 매듭

그렇다면, 다음과 같은 연산을 생각할 수 있다.

  • 두 매듭의 그림을 임의로 고른다.
Sum of knots.png
  • 이 두 매듭의 그림에서, 서로 반대 방향을 향하는 두 변들을 고른다.
Sum of knots2.png
  • 이 두 변들을 잇는다.
Sum of knots3.svg

이 연산에 따라, 유향 매듭들은 가환 모노이드를 이룬다. (그러나 이 연산은 매듭의 방향에 의존한다.) 이 연산을 매듭의 연결합이라고 하고, 로 표기하자. 이 연산은 다음을 만족시킨다.

여기서 는 유항 매듭 에서, 반대 방향을 부여한 유향 매듭이다. 그러나 일반적으로

이다. (예를 들어, 두 세잎매듭의 연결합은 방향에 따라 두 가지가 있다.)

소 매듭[편집]

두 유향 매듭의 , 의 매듭 연결합이 자명한 매듭필요 충분 조건 둘 다 자명한 매듭인 것이다. 또한, 자명한 매듭은 매듭 연결합의 항등원이다.

이제, 유향 매듭 이 다음 조건을 만족시킨다면, 유향 소 매듭이라고 한다.

  • 일 때, 가운데 하나가 자명한 매듭이며, 다른 하나는 자명한 매듭이 아니다.

유향 매듭 가 유향 소 매듭일 필요 충분 조건가 유향 소 매듭인 것이다. 즉, 이 조건은 매듭의 방향에 의존하지 않는다. 이에 따라, 임의로 방향을 부여하였을 때 유향 소 매듭이 되는 매듭을 소 매듭이라고 한다. (특히, 자명한 매듭은 소 매듭이 아니다.)

성질[편집]

모든 유향 매듭은 유한 개의 유향 소 매듭들의 연결합으로 유일하게 표현된다. (이 정리가 성립하려면, 자명한 매듭이 소 매듭이 될 수 없다.)

각 교차수에 따라, 소 매듭의 수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A2863)

교차수 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
소 매듭의 수 0 0 1 1 2 3 7 21 49 165 552 2176 9988 46972 253293 1388705

목록[편집]

교차수가 7 이하인 소 매듭들의 목록은 다음과 같다.

이름 그림 알렉산더-브리그스 표기법 시슬스웨이트 표기법 다우커 표기법 콘웨이 표기법
세잎매듭 Blue Trefoil Knot.png 31 3a1 4 6 2 [3]
8자 매듭 Blue Figure-Eight Knot.png 41 4a1 4 6 8 2 [22]
다섯잎매듭 Blue Cinquefoil Knot.png 51 5a2 6 8 10 2 4 [5]
3겹 뒤튼 매듭 Blue Three-Twist Knot.png 52 5a1 4 8 10 2 6 [32]
하역 매듭 Blue Stevedore Knot.png 61 6a3 4 8 12 10 2 6 [42]
밀러 연구소 매듭 Blue 6 2 Knot.png 62 6a2 4 8 10 12 2 6 [312]
Blue 6 3 Knot.png 63 6a1 4 8 10 2 12 6 [2112]
일곱잎매듭 Blue 7 1 Knot.png 71 7a7 8 10 12 14 2 4 6 [7]
5겹 뒤튼 매듭 Blue 7 2 Knot.png 72 7a4 4 10 14 12 2 8 6 [52]
Blue 7 3 Knot.png 73 7a5 6 10 12 14 2 4 8 [43]
Blue 7 4 Knot.png 74 7a6 6 10 12 14 4 2 8 [313]
Blue 7 5 Knot.png 75 7a3 4 10 12 14 2 8 6 [322]
Blue 7 6 Knot.png 76 7a2 4 8 12 2 14 6 10 [2212]
Blue 7 7 Knot.png 77 7a1 4 8 10 12 2 14 6 [21112]

여기서, 사용된 표기법은 다음과 같다.

  • 알렉산더-브리그스 표기법(영어: Alexander–Briggs notation): 제임스 워델 알렉산더와 갈런드 버드 브리그스(영어: Garland Baird Briggs)의 1927년 논문[1]에서 최초로 사용되었으며, 이후 데일 롤프슨(영어: Dale Rolfsen)이 그 목록을 확장하였다. 이 표기법에서, 은 교차수 을 갖는 소 매듭을 뜻하며, 은 같은 교차수 속에서 임의로 순서를 매긴 것이다.
  • 시슬스웨이트 표기법(영어: Thistlethwaite notation): 모원 시슬스웨이트(영어: Morwen B. Thistlethwaite)가 도입하였다.
  • 다우커 표기법(영어: Dowker notation): 클리퍼드 휴 다우커(영어: Clifford Hugh Dowker)가 도입하였다.
  • 콘웨이 표기법(영어: Conway notation): 존 호턴 콘웨이가 도입하였다.

역사[편집]

일부 소 매듭의 어원은 다음과 같다.

  • 세잎매듭(영어: trefoil knot) · 다섯잎매듭(영어: cinquefoil knot) · 일곱잎매듭(영어: septfoil knot): 매듭의 모양을 세잎 토끼풀 및 (가상의) 다섯잎· 일곱잎 토끼풀에 빗댄 것이다.
  • 8자 매듭(영어: figure-eight knot) 매듭의 중앙에 아라비아 숫자 8과 비슷한 모양이 있다.
  • 3겹 뒤튼 매듭(영어: three-twist knot) · 5겹 뒤튼 매듭(영어: five-twist knot): 맨 위에 3번 · 5번 뒤튼 모양이 있다. (1겹 뒤튼 매듭은 세잎매듭과 같으며, 2겹 뒤튼 매듭은 8자 매듭과 같으며, 4겹 뒤튼 매듭은 하역 매듭과 같다.)
  • 하역 매듭(荷役-, 영어: stevedore’s knot): 부두에서 짐을 싣거나 내릴 때 이 매듭을 사용했다고 한다. 영어: stevedore 스티브도어[*]는 항만(港灣) 노동자를 뜻한다.
  • 밀러 연구소 매듭(영어: Miller Institute knot): 미국 캘리포니아 대학교 버클리 밀러 기초 과학 연구소(영어: The Miller Institute for Basic Research in Science)의 로고에 이 매듭이 등장한다.

참고 문헌[편집]

  1. Alexander, James Waddell Ⅱ; Briggs, Garland Baird (1926). “On types of knotted curves” (PDF). 《Annals of Mathematics》 (영어) 28: 562–586. JSTOR 1968399. MR 1502807. doi:10.2307/1968399. 

외부 링크[편집]